不等式等价于证明
$$(\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i})^2\leq \sum_{i}^{n}x_{i}^{2}$$
其中$x_{i} \geq 0,0<\lambda_{i}<1,\sum \lambda_{i}=1$.
设$f(x)=x^2$则$f‘‘(x)=2>0$，由凸不等式
$$f(\sum_{i}^{n}\lambda_{i}x_{i})\leq \sum_{i}^{n}\lambda_{i}f(x_{i})\leq\sum_{i}^{n} f(x_{i})$$
当然也可以利用求条件极值的方法。
原文：http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/4207386.html