问题 设$f$是$\mathbb R$上的周期函数,记$$S=\{T>0:f(x+T)=f(x),\forall x\in\mathbb R\}$$
根据确界原理显然$S$有下确界${\rm inf}S$,求证要么${\rm inf}S=0$,要么${\rm inf}S\in S$.
证明 只需注意到$f(x)$的所有周期(包括负周期)构成$\mathbb R$的加法子群,但是$\mathbb R$的加法子群只有两种,一种是离散的形如$a\mathbb Z$的形式,另一种是在$\mathbb R$中稠密的.这样的话结论就显然了.
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