Blocked Points_取值域对称性问题

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题目大意：在平面二维坐标系中，给定一个n表示距原店的欧氏距离不大于n的这些点，最外圈的点共有多少

方法1：

暴力方法：在0-n这一段中，计算出外圈的点的个数，乘以4再减4即可。对每一个x，计算出y值，和前一个y进行比较，差值减1（不能为负）加上即可

int main()
{
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
    LL n, cnt, pre = 0, y;
    while (cin >> n)
    {
        if (n == 0)
        {
            WI(1);
            continue;
        }
        double all = n * n;
        pre = n;
        cnt = n + 1;
        for (LL i = 1; i <= n; i++)
        {
            y = (LL)sqrt(all - i * i);
            cnt += max(0LL, pre - y - 1);
            pre = y;
        }
        cnt += max(0LL, pre - 1);
        cout << cnt * 4 - 4 << endl;
    }
    return 0;
}

观察上述想法可以知道，难点在于对于有的x，可能会有多个点在最外边。

分析解集可以发现，圆的解决是有对称性的，大的比较明显的是x < 0和x > 0，不过此处需要发现另一个比较重要的对称域，0 - sqrt(n * n / 2)和sqrt(n * n / 2) - n，可以发现这个解集在x方向是不具有对称性的，但是想考一下圆的特点，在这个点右边的解集情况与之前的只不过是x，y互换而已。分割这个解集后也不是直接解，而是对上述难点的特点进行分析。对于圆的方程 x ^ 2 + y ^ 2 = n ^ 2，对于方程y = x ^ 2，求导以后得到2x，这个倒数递增的，那么对于x < y时，x增加1，y如果也减少1，那么圆方程左边增加的数肯定大于0从而不满足，所以当x增加1时，y增加的数是小于1的，也就是说对于相邻的x，他们的y值的floor函数值相差不会超过1。至此，上述难点不复存在，直接计算即可。

补充一点，思考的过程应该是先分析圆的方程式，得到关键是x < y，再去考虑x = y对域的分割情况。不过做题时应该注意这一点，当取值域有对称性时应该格外注意

再总结一下，取值域有对称性的情况：（往往分割后可以将题目中的类组合问题分开，每一段的特点就比较清楚了，便于分析与解决）

1. 自变量取不同值时，因变量的值有规律可循（此处注意，不一定非要一样）
2. 这个特殊一点，两处的自变量和因变量互换，即函数图像关于y = x对称（这一点不好发现，需要格外注意，现在已知的有圆形和图像y = 1  / x）

int main()
{
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
    LL n, ans, t;
    while (cin >> n)
    {
        if (n == 0)
        {
            WI(1);
            continue;
        }
        t = 0;
        ans = (LL)sqrt(n * n * 0.5);
        if ((LL)sqrt(1.0 * n * n - ans * ans) == ans)//you zhong dian
        {
            ans--;
            t += 4;
        }
        cout << ans * 8 + 4 + t << endl;
    }
    return 0;
}

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Blocked Points_取值域对称性问题

原文：http://blog.csdn.net/wty__/article/details/20202041