设计效应抽样调查 证明与练习

证明部分

证明1

证明：对简单随机估计\(\bar{y}\)，有\({E}(\bar{y})=\bar{Y}\)，\({V}(\bar{y})=\dfrac{1-f}{N}S^2\)。

用\(a_i\)表示总体中\(Y_i\)入样这一事件，则\(a_i\)是随机变量，且

同时可以对\(\bar{y}\)作变换为

因此对期望，有

对方差，有

证明2

证明：样本方差是总体方差的无偏估计，即\(E(s^2)=S^2\)；样本协方差是总体协方差的无偏估计，即\(E(s_{yx})=S_{yx}\)。

沿用上题的记号，有

为证下一个结论，需要先计算\(\mathrm{cov}(\bar{y},\bar{x})\)。为此，引进变换\(U=Y+X\)，类似定义\(u_i\)，\(\bar{u}\)，\(S_u^2\)，于是

这时就有

证明3

证明：比率估计量\(r\)的方差为

\[V(r)\approx \frac{1}{\bar{X}^2}\frac{1-f}{n}\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(Y_i-RX_i)^2=\frac{1}{\bar{X}^2}\frac{1-f}{n}(S^2-2RS_{yx}+R^2S_x^2). \]

定义\(G=Y-RX\)，类似定义\(g_i\)，\(\bar{g}\)，\(\bar{G}\)，容易验证\(\bar{G}=0\)，从而

对后面的等式，有

证明4

证明：对\(\bar{y}_{RC}=\dfrac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}}\bar{X}\)，有\(E(\bar{y}_{RC})\approx \bar{Y}\)，\(\displaystyle{V(\bar{y}_{RC})\approx\sum_{h=1}^{L}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}(S_h^2-2RS_{yxh}+R^2S_{xh}^2) }\)。

由\(E(\bar{x}_{st})\approx \bar{X}\)，有

作变换\(G=Y-RX\)，类似定义\(G_{hi}\)，\(\bar{G}_h\)，\(\bar{g}_{st}\)，我们有\(\bar{G}_h=\bar{Y}_h-R\bar{X}_h\)，\(\bar{g}_{st}=\bar{y}_{st}-R\bar{x}_{st}\)，故\(E(\bar{g}_{st})=0\)。因此

证明5

证明分层抽样的最优分配比例为

\[n_h\propto\frac{W_hS_h}{\sqrt{c_h}}. \]

这里\(c_h\)为调查第\(h\)层样本的单位成本。

我们有

由柯西不等式，有

当且仅当各层都有

\(K\)为某一常数时等号成立，即

证明6

证明整群抽样的设计效应约为

\[deff=\frac{V(\bar{\bar{y}})}{V_{srs}(\bar{\bar{y}})}\approx 1+(M-1)\rho_{c}. \]

这里\(\rho_c\)为群内相关系数，即

\[\rho_c=\frac{2\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j<k}^{M}(Y_{ij}-\bar{\bar{Y}})(Y_{ik}-\bar{\bar{Y}})}{(M-1)(NM-1)S^2}. \]

我们假设\(N,M\)都很大，这样\(N-1\approx N\)，\(NM-1\approx NM\)，于是

注意到\(V_{srs}(\bar{\bar{y}})=\dfrac{1-f}{nM}S^2\)，所以

证明7

对于两阶段抽样，有

\[E(\hat\theta)=E_1E_2(\hat\theta),\V(\hat\theta)=V_1[E_2(\hat\theta)]+E_1[V_2(\hat\theta)]. \]

均值公式就是全期望公式。记\(E(\hat\theta)=\theta\)，对方差有

证明8

对于两阶段抽样，证明：

\[V(\bar{\bar{y}})=\frac{1-f_1}{n}S_1^2+\frac{1-f_2}{nm}S_2^2. \]

我们有\(V(\bar{\bar{y}})=V_1E_2(\bar{\bar{y}}_2)+E_1V_2(\bar{\bar{y}}_2)\)，针对两项分别计算。对第一项，有

对第二项，有

原式得证。

证明9

对两阶段抽样，有

\[E(s_1^2)=S_1^2+\frac{1-f_2}{m}S_2^2,\E(s_2^2)=S_2^2. \]

对\(s_1^2\)，有

引入\(\bar{Y}_n=\displaystyle{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar{Y}_i}\)，我们有

对\(s_2^2\)，有

得证。

证明10

证明：对\(V(\hat{Y}_{HH})\)的无偏估计为

\[v(\hat{Y}_{HH})=\frac{1}{n}\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{Y_i}{Z_i}-\hat{Y}_{HH} \right)^2. \]

设\(t_i\)为\(Y_i\)的入样次数，则\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{N}t_i=n}\)，诸\(t_i\)服从多项分布\(B(n;Z_1,Z_2,\cdots,Z_N)\)，故

注意到\(V(\hat{Y}_{HH})=\dfrac{1}{n}\displaystyle{\sum_{i=1}^{N}Z_i\left(\frac{Y_i}{Z_i}-Y \right)^2}\)，于是

结论得证。

证明11

证明当\(n\)固定时，对HT统计量的方差，有

\[V(\hat{Y}_{HT})=\sum_{i=1}^{N}\frac{1-\pi_i}{\pi_i}Y_i^2+2\sum_{i<j}^{N}\frac{\pi_{ij}-\pi_i\pi_j}{\pi_i\pi_j}Y_iY_j=\sum_{i<j}^{N}(\pi_i\pi_j-\pi_{ij})\left(\frac{Y_i}{\pi_i}-\frac{Y_j}{\pi_j} \right)^2. \]

注意到此时对给定的\(i\)，总有

所以

加上第二项，就得到

证明12

证明Brewer抽样方法是\(\mathrm{\pi PS}\)的，即

1. 按照\(\dfrac{Z_i(1-Z_i)}{1-2Z_i}\)的概率抽取第一个单元；
2. 在剩下的单元中，按照和\(Z_i\)成比例的概率抽取下一个单元。

且\(\pi_i=2Z_i\)，\(\pi_{ij}=\dfrac{4Z_iZ_j(1-Z_i-Z_j)}{(1-2Z_i)(1-2Z_j(1+\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{Z_i}{1-2Z_i})}\)。

令

则

而

得证。

证明13

证明系统抽样的方差为

\[V(\bar{y}_{sy})=\frac{N-1}{N}S^2-\frac{k(n-1)}{N}S_{wsy}^2, \]

这里

\[S^2=\frac{1}{N-1}\sum_{r=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}(Y_{rj}-\bar{Y})^2,\S_{wsy}^2=\frac{1}{k}\sum_{r=1}^{k}\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n}(Y_{rj}-\bar{Y}_{r})^2. \]

对\(S^2\)进行分解，有

从而

证明14

对分层二重抽样，有

\[E(\bar{y}_{stD})=\bar{Y},\V(\bar{y}_{stD})=\left(\frac{1}{n‘}-\frac{1}{N} \right)S^2+\sum_{h=1}^{L}\frac{W_h^2S_h^2}{n‘}\left(\frac{1}{f_{hD}}-1 \right). \]

对均值，注意\(\displaystyle{\sum_{h=1}^{L}w_h‘\bar{y}_h‘=\bar{y}‘}\)，且\(\bar{y}‘\)是从总体中以抽样比\(f_1=\dfrac{n‘}{N}\)抽取的简单随机样本，所以

对方差，有\(V(\bar{y}_{stD})=V_1E_2(\bar{y}_{stD})+E_1V_2(\bar{y}_{stD})\)，分别计算（注意\(n_h=n_h‘f_{hD}\)，\(n_h‘=w_h‘n‘\)），有

这里运用到全概率公式，再代回即可得到结果。

证明15

证明分层二重抽样在成本\(C_{T}^*=c_1+\displaystyle{\sum_{h=1}^{L}c_{2h}n_h}\)下的样本量最优分配为：

\[f_{hD}=S_h\sqrt{\frac{c_1}{c_{2h}\displaystyle{\left(S^2-\sum_{h=1}^{L}W_hS_h^2 \right)}}},\n‘=\frac{C_{T}^*}{c_1+\displaystyle{\sum_{h=1}^{L}c_{2h}W_hf_{hD}}}. \]

方差为

故极小化

由Cauchy不等式，有

等号成立当且仅当

即

为得到\(n’\)，只需代回。

练习题

1. 简单随机抽样

给定如下的数据框，这里\(Y\)是待估变量，\(X\)是辅助变量。

\[\begin{array}{c|cc} \hline Y & 4 & 6 & 8 & 5 & 4 \X & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 \\hline \end{array} \]

且知道\(N=50\)，\(n=5\)，\(\bar{X}=2\)，求：

1. \(\bar{Y}\)的简单估计，及其\(95\%\)置信区间。
2. \(\bar{Y}\)的比估计，及其\(95\%\)的置信区间。
3. \(\bar{Y}\)的回归估计，及其\(95\%\)的置信区间。

1. 对简单估计，有

   \[\bar{y}=5.4,\quad s^2=2.8 \v(\bar{y})=\frac{1-f}{n}s^2=0.504 \]

   计算\(\bar{y}\pm u_{\alpha/2}\sqrt{v(\bar{y})}\)，得到置信区间为

   \[[4.0085,6.7915]. \]

2. 对比估计，先计算得

   \[\bar{x}=2.2,\quad s_x^2=0.7,\quad s_y^2=2.8,\quad s_{xy}=1.15. \]

   所以

   \[r = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}=2.4545,\\bar{y}_{R}=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}\bar{X}=4.9091,\v(\bar{y}_{R})=\frac{1-f}{n}(s^2-2rs_{yx}+r^2s_x^2)=0.2469, \]

   计算\(\bar{y}_{R}\pm u_{\alpha/2}\sqrt{v(\bar{y}_{R})}\)，得到置信区间为

   \[[4.2779,5.8650]. \]

3. 对回归估计，需计算回归参数，即

   \[b=\frac{s_{yx}}{s_{x}^2}=1.6429,\\bar{y}_{lr}=\bar{y}+b(\bar{X}-\bar{x})=5.0714. \]

   为估计其方差，需计算相关系数，即

   \[\hat\rho=\frac{s_{yx}}{s_ys_x}=0.8214,\v(\bar{y})=\frac{1-f}{n}s_y^2(1-\hat\rho^2)=0.1639, \]

   计算\(\bar{y}_{lr}\pm u_{\alpha/2}\sqrt{v(\bar{y}_{lr})}\)，得到置信区间为

   \[[4.2779,5.8650]. \]

2. 分层随机抽样的比估计

已知两层的总体数据为\(N_1=15\)，\(N_2=10\)，\(\bar X_1=20\)，\(\bar X_2=50\)。从两层中各抽取\(3\)个样本，结果是

\[\begin{array}{c|cc} \hline Y_1 & 30 & 35 & 40 \X_1 & 18 & 18 & 25 \\hline Y_2 & 75 & 82 & 85 \X_2 & 55 & 40 & 60 \\hline \end{array} \]

1. 给出\(\bar{Y}\)的分别比估计结果，并估计其方差。
2. 给出\(\bar{Y}\)的联合比估计结果，并估计其方差。

1. 已知\(W_1=0.6\)，\(W_2=0.4\)，\(f_1=0.2\)，\(f_2=0.3\)。对分别比估计，有

   \[\bar{r}_1=1.7213,\\bar{r}_2=1.5613,\\bar{y}_{RS}=W_1\bar{X}_1\bar{r}_1+W_2\bar{X}_2\bar{r}_2=51.8815. \]

   对其方差，有

   \[v(\bar{y}_{RS})=\sum_{h=1}^{2}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}(s_{yh}^2-2\bar{r}_hs_{yxh}+\bar{r}_h^2s_{xh}^2)=12.0071. \]

2. 对联合比估计，有

   \[\bar{y}_{st}=\sum_{h=1}^{2}W_h\bar{y}_h=53.2667,\\bar{x}_{st}=\sum_{h=1}^{2}W_h\bar{x}_h=32.8667, \]

   故

   \[r=\frac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}}=1.6207,\quad \bar{X}=32,\\bar{y}_{RC}=\frac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}}\bar{X}=51.8620,\v(\bar{y}_{RC})=\sum_{h=1}^{2}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}(s_h^2-2rs_{yxh}+r^2s_{xh}^2)=12.5786. \]

3. 分层随机抽样的样本分配

对一个两层总体调查比率，\(N_1=10\)，\(N_2=20\)，\(n_1=n_2=5\)，算得\(p_1=0.4\)，\(p_2=0.2\)。

1. 试使用分层随机抽样估计\(P\)，并给出\(p_{st}\)的标准差。
2. 计算Neyman分配时，以及\(c_2=4c_1\)时最优分配时，两层样本量的比值。

1. 对\(p_{st}\)的估计，有

   \[p_{pst}=\frac{1}{3}p_1+\frac{2}{3}p_2=0.266667. \]

   对方差估计，有

   \[s_h^2=\frac{n_hp_h(1-p_h)}{n_h-1}, \]

   所以

   \[s_1^2=1.25\times 0.4\times 0.6=0.3,\s_2^2=1.25\times 0.2\times 0.8=0.2,\v(p_{st})=\frac{1}{9}\frac{1-0.5}{5}0.3+\frac{4}{9}\frac{1-0.25}{5}0.2=0.016667,\\sigma(p_{st})=0.1291. \]

2. 对于最优分配，有\(n_h\propto W_hS_h\)，所以

   \[\frac{n_1}{n_2}=\frac{1/3\times \sqrt{0.3}}{2/3\times\sqrt{0.2}}=0.6124. \]

   对于一般情况下的最优分配，有\(n_h\propto W_hS_h/\sqrt{c_h}\)，所以

   \[\frac{n_1}{n_2}=\frac{1/3\times \sqrt{0.3}}{2/3\times \sqrt{0.2}\times \sqrt{4}}=0.3062. \]

4. 等概率整群抽样

现有\(10\)个等规模\(M=10\)的群，随机抽取了\(4\)个整群，调查得到其群总值分别为

\[\begin{array}{c|c} \hline i & y_i & y_{ij}\\hline 1 & 19 & 1,2,1,3,3,2,1,4,1,1 \2 & 20 & 1,3,2,2,3,1,4,1,1,2 \3 & 16 & 2,1,1,1,1,3,2,1,3,1 \4 & 20 & 1,1,3,2,1,5,1,2,3,1 \\hline \end{array} \]

1. 求\(\bar{\bar{y}}\)的估计及其标准差。
2. 求设计效应。

1. 即\(\bar{y}_1=1.9\)，\(\bar{y}_{2}=2\)，\(\bar{y}_3=1.6\)，\(\bar{y}_4=2\)。由简单随机抽样的性质，有

   \[\bar{\bar{y}}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}\bar{y}_i=1.875, \]

   且

   \[v(\bar{\bar{y}})=\frac{1-0.4}{4}\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{4}(\bar{y}_i-\bar{\bar{y}})^2=0.005375,\\sigma(\bar{\bar{y}})=0.07331. \]

2. 此时

   \[s_{b}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{4}M(\bar y_i-\bar{\bar y}_i)^2=0.358333,\s_w^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{M-1}\sum_{j=1}^{M}(y_{ij}-\bar{y}_i)^2=1.202778, \]

   所以

   \[\hat \rho_c=\frac{s_b^2-s_w^2}{s_b^2+(M-1)s_w^2}=-0.0755,\deff\approx 1+(M-1)\hat\rho^c=0.3204. \]

5. 两阶段抽样

现有\(N=10\)个等规模的的群，每个群中有\(M=50\)个个体，从中抽取\(3\)个群，每个群抽取\(5\)个样本，得到的结果如下：

\[\begin{array}{c|cc} \hline 1 & 20 & 25 & 20 & 25 & 20 \2 & 18 & 20 & 22 & 25 & 20 \3 & 25 & 28 & 18 & 15 & 21 \\hline \end{array} \]

1. 试求\(\bar{\bar{Y}}\)的估计量及其方差，并给出\(95\%\)置信区间。
2. 如抽取一个群的成本为\(c_1\)，调查一个个体的成本为\(c_2\)，其他字母同教材定义，试导出最优的\(m\)。

1. 先计算以下量：

   \[\bar{y}_1=22,\quad s_{21}=7.5;\\bar{y}_2=21,\quad s_{22}=7;\\bar{y}_3=21.4,\quad s_{23}=27.3. \]

   所以

   \[\bar{\bar{y}}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}\bar{y}_i=21.4667,\s_{1}^2=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}(\bar{y}_i-\bar{\bar{y}})^2=0.253333,\s_2^2=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}s_{2i}^2=13.9333. \]

   得其方差为

   \[v(\bar{\bar{y}})=\frac{1-0.3}{3}s_1^2+\frac{0.3(1-0.1)}{15}s_2^2=0.3099, \]

   从而\(95\%\)置信区间是

   \[[20.3756,22.5578]. \]

2. 两阶段抽样的方差为

   \[V=\frac{1}{n}S_1^2-\frac{1}{N}S_1^2+\frac{1}{nm}S_2^2-\frac{1}{n}\frac{S^2_2}{M}, \]

   故对下式进行最小化：

   \[(c_1n+c_2nm)\left(\frac{S_1^2-S_2^2/M}{n}+\frac{S_2^2}{nm} \right)=(c_1+c_2m)\left(S_1^2-\frac{S_2^2}{M}+\frac{S_2^2}{m} \right). \]

   从而

   \[\frac{c_1}{S_1^2-S_2^2/M}=\frac{c_2m^2}{S_2^2},\m_{opt}=\sqrt{\frac{c_1S_2^2}{c_2\left(S_1^2-\dfrac{S_2^2}{M}\right)}}. \]

   且

   \[\hat{S}_1^2=s_1^2-\frac{1-f_1}{M}s_2^2,\\hat{S}_2^2=s_2^2. \]

   注：若代入本题数据，得出的\(m_{opt}\)将是负值，故请不要代入计算。

6. \(\mathrm{PPS}\)抽样

对一个\(N=10\)的总体执行不等概抽样，抽样结果如下：

\[\begin{array}{c|cc} \hline i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\hline Z_i & 0.2 & 0.2 & 0.1 & 0.05 & 0.05 & 0.05 & 0.05 & 0.1 & 0.1 & 0.1 \t_i & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \Y_i & 35 & ? & ? & 40 & ? & ? & ? & 20 & 40 & ? \\hline \end{array} \]

求总体均值的估计，并给出相应的方差。

构造汉森-赫维茨统计量为

方差有

7. 两阶段放回不等概抽样

假设某总体共有\(N=10\)个群，每个群中有\(M=10\)个个体。现进行两阶段放回不等概抽样，第一阶段中抽到了两次\(Y_1\)，一次\(Y_{2}\)与一次\(Y_3\)，其抽选概率分别为

\[Z_1=0.5,\quad Z_2=Z_3=0.1. \]

现对\(Y_1\)执行两次简单随机抽样，对\(Y_2,Y_3\)各执行一次，取\(m=4\)，抽样结果如下：

\[\begin{array}{c|cc} \hline Y_1^{(1)} & 3 & 5 & 8 & 10 \Y_1^{(2)} & 3 & 7 & 7 & 9 \Y_2 & 6 & 9 & 10 & 12 \Y_3 & 10 & 15 & 18 & 20 \\hline \end{array} \]

试作\(\bar{\bar{Y}}\)的估计，并求其方差。

对总体总值作估计，有

于是

8. \(\mathrm{\pi PS}\)抽样

考虑一个\(N=8\)个体的总体，欲采用Brewer抽样法获得两个样本：\(y_1=12\)，\(y_2=20\)，且\(Z_1=0.2\)，\(Z_2=0.1\)。

1. 简述Brewer抽样方法与实施条件。
2. 构造霍维茨-汤普森估计量，对总体总值进行估计。
3. 如果这两个样本是按照Yates-Grundy逐个抽取法抽取的，且下一个抽取了\(y_3=15\)，\(Z_3=0.05\)，构造Raj估计量对总体总值进行估计，并估计其方差。

1. Brewer抽样，第一步按与\(\dfrac{Z_i(1-Z_i)}{1-2Z_i}\)成比例的概率抽取第一个样本，抽到的样本视为\(j\)；第二步按与\(Z_i\)成比例的概率即\(\dfrac{Z_i}{1-Z_j}\)抽取第二个样本。

   实施条件是\(1-2Z_i>0\)，即对每一个\(i\)都有\(Z_i<1/2\)。

2. 对总体总值的估计为

   \[\hat{Y}_{HT}=\frac{1}{2}\left(\frac{y_1}{Z_1}+\frac{y_2}{Z_2} \right)=130. \]

3. 计算得

   \[t_1=\frac{y_1}{Z_1}=60,\t_2=y_1+\frac{y_2}{Z_2}(1-Z_1)=172,\t_3=y_1+y_2+\frac{y_3}{Z_3}(1-Z_1-Z_2)=242. \]

   所以

   \[\hat{Y}_{Raj}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}t_i=158,\v(\hat{Y}_{Raj})=\frac{1}{3\times 2}\sum_{i=1}^{3}(t_i-\hat{Y}_{Raj})^2=2809.333. \]

9. 系统抽样

设总体\(N=30\)，欲抽取\(10\)个样本。

1. 若样本中包含\(Y_{16}\)，求所有样本。
2. 在什么情况下，系统抽样优于简单随机抽样。

1. \(16\%3=1\)，故样本起点为\(Y_1\)，所有样本是

   \[Y_1,Y_4,Y_7,Y_{10},Y_{13},\Y_{16},Y_{19},Y_{22},Y_{25},Y_{28}. \]

2. 设

   \[S^2=\frac{1}{N-1}\sum_{r=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}(Y_{rj}-\bar{Y})^2,\S_{wsy}^2=\frac{1}{k}\sum_{r=1}^{k}\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n}(Y_{rj}-\bar{Y}_j)^2. \]

   则

   \[\begin{aligned} (N-1)S^2&=\sum_{r=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}(Y_{rj}-\bar{Y})^2\&=\sum_{r=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}(Y_{rj}-\bar{Y}_r)^2+\sum_{r=1}^{k}n(\bar{Y}_{r}-\bar{Y})^2\&=k(n-1)S_{wsy}^2+Nv(\bar{y}_{sy}), \end{aligned} \]

   因此

   \[v(\bar{y}_{sy})=\frac{N-1}{N}S^2-\frac{k(n-1)}{N}S_{wsy}^2. \]

   而

   \[v(\bar{y}_{srs})=\frac{1-f}{n}S^2=\frac{k-1}{N}S^2, \]

   作差得

   \[v(\bar{y}_{srs})-v(\bar{y}_{sy})=\frac{(k-N)S^2+k(n-1)S_{wsy}^2}{N}=\frac{k(n-1)(S_{wsy}^2-S^2)}{N}. \]

   故\(S_{wsy}^2>S^2\)时系统抽样更优。

10. 分层二重抽样

一个含\(1000000\)个体的总体可分为\(2\)层，由于总体情况未知，先抽取\(n‘=10000\)个个体进行预调查，得到结果为\(n_1‘=2000\)，\(n_2‘=8000\)。接下来又抽取了\(n_1=n_2=5\)个个体进行细致调查，得到结果为\(\bar{y}_1=200\)，\(\bar{y}_2=80\)，其方差分别为\(s_1^2=4500\)，\(s_2^2=200\)。

1. 求总体均值\(\bar{Y}\)的估计，并给出方差估计，这里抽样方差比可忽略。
2. 求最优方差比\(f_{hD}\)。

1. 分层二重抽样估计为

   \[\bar{y}_{stD}=w_1‘\bar{y}_1+w_2‘\bar{y}_2=104,\\]

   对其方差，有

   \[v(\bar{y}_{stD})=\sum_{h=1}^{L}\frac{w_h‘s_h^2}{n_h}+\frac{1}{n‘}\sum_{h=1}^{L}w_h‘(\bar{y}-\bar{y}_{stD})^2=212.2304. \]

2. 由于

   \[\begin{aligned} V(\bar{y}_{stD})&=\left(\frac{1}{n‘}-\frac{1}{N} \right)S^2+\sum_{h=1}^{L}\frac{W_hS_h^2}{n‘}\left(\frac{1}{f_{hD}}-1 \right)\&=\frac{1}{n‘}\left(S^2-\sum_{h=1}^{L}W_hS_h^2 \right)+\sum_{h=1}^{L}\frac{W_hS_h^2}{n‘f_{hD}}-\frac{S^2}{N}. \end{aligned} \]

   而\(C_{T}^*=\displaystyle{c_1n‘+n‘\sum_{h=1}^{L}c_{2h}W_hf_{hD}}\)，所以对下式进行最小优化：

   \[\left(c_1+\sum_{h=1}^{L}c_{2h}W_hf_{hD} \right)\left[\left(S^2-\sum_{h=1}^{L}W_hS_h^2 \right)+\sum_{h=1}^{L}\frac{W_hS_h^2}{f_{hD}} \right], \]

   因此

   \[\frac{c_1}{S^2-\displaystyle{\sum_{h=1}^{L}W_hS_h^2}}=\frac{c_{2h}f_{hD}^2}{S_h^2},\f_{hD}=S_h\sqrt{\frac{c_1}{c_{2h}\displaystyle{\left(S^2-\sum_{h=1}^{L}W_hS_h^2 \right)}}}. \]

11. 二重抽样比估计

一个\(N\)很大的总体，由于总体情况未知，先抽取\(n‘=10000\)个样本调查辅助变量\(X\)，得到\(\bar{x}‘=50\)。接下来，第二重抽样抽取\(10\)个样本，得到\(\bar{y}=80\)，\(\bar{x}=40\)，\(s_x^2=1600\)，\(s_{yx}=2400\)，\(s_{y}^2=8000\)。求二重抽样比估计\(\bar{y}_{RD}\)，并计算其估计量方差。

二重抽样比估计为

这里\(\hat{R}=2\)，于是方差估计为

12. 捕获再捕获抽样

为估计湖中有多少条鱼，从中捞出\(1000\)条，标上记号后放回湖中，然后捞出\(150\)条，发现其中有\(10\)条有记号。用Chapman估计给出湖中鱼的总数，并给出方差估计，给出\(95\%\)的区间。

计算得

于是置信区间是

总述

抽样方法

1. 简单随机抽样的简单估计。

   \[\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i,\V(\bar{y})=\frac{1-f}{n}S^2,\v(\bar{y})=\frac{1-f}{n}s^2. \]

2. 简单随机抽样的比估计。

   \[\bar{y}_{R}=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}\bar{X},\quad r=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}, \V(\bar{y}_{R})\approx \frac{1-f}{n}(S^2-2RS_{yx}+R^2S_x^2),\v(\bar{y}_{R})=\frac{1-f}{n}(s_y^2-2rs_{yx}+r^2s_{x}^2). \]

3. 简单随机抽样的回归估计，回归参数已知。

   \[\bar{y}_{lr}=\bar{y}+\beta_0(\bar{X}-\bar{x}),\V(\bar{y}_{lr})\approx \frac{1-f}{n}(S^2-2\beta_0S_{yx}+\beta_0^2S_{x}^2),\v(\bar{y}_{lr})=\frac{1-f}{n}(s_y^2-2\beta_0x_{yx}+\beta_0^2s_{x}^2). \]

4. 简单随机抽样的回归估计，回归参数未知。

   \[b=\frac{s_{yx}}{s_{x}^2},\\bar{y}_{lr}=\bar{y}+b(\bar{X}-\bar{x}),\V(\bar{y}_{lr})\approx \frac{1-f}{n}S^2(1-\rho^2),\v(\bar{y}_{lr})\approx \frac{1-f}{n}s_y^2(1-\hat\rho^2). \]

5. 分层随机抽样的简单估计。

   \[\bar{y}_{st}=\sum_{h=1}^{L}W_h\bar{y}_{h},\V(\bar{y}_{st})=\sum_{h=1}^{L}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}S_h^2,\v(\bar{y}_{st})=\sum_{h=1}^{L}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}s_h^2. \]

6. 分层随机抽样的分别比估计。

   \[\bar{y}_{RS}=\sum_{h=1}^{L}W_h\frac{\bar{y}_h}{\bar{x}_h}\bar{X}_h,\quad r_h=\frac{\bar{y}_h}{\bar{x}_j},\V(\bar{y}_{RS})\approx \sum_{h=1}^{L}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}(S_{yh}^2-2R_hS_{yxh}+R_h^2S_{xh}^2),\v(\bar{y}_{RS})=\sum_{h=1}^{L}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}(s_{yh}^2-2r_hs_{yxh}+r_h^2s_{xh}^2). \]

7. 分层随机抽样的联合比估计。

   \[\bar{y}_{RC}=\frac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}}\bar{X},\quad r=\frac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}},\V(\bar{y}_{RC})\approx \sum_{h=1}^{L}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}(S_{yh}^2-2RS_{yxh}+R^2S_{xh}^2),\v(\bar{y}_{RC})=\sum_{h=1}^{L}W_h^2\frac{1-f_h}{n_h}(s_{yh}^2-2rs_{yxh}+r^2s_{xh}^2). \]

8. 等概率等规模整群抽样。

   \[\bar{\bar{y}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar{Y}_i,\V(\bar{\bar{y}})=\frac{1-f}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar{Y}_i-\bar{\bar{Y}})^2,\v(\bar{\bar{y}})=\frac{1-f}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar{y}_i-\bar{\bar{y}})^2. \]

9. 等概率等规模两阶段抽样。

   \[\bar{\bar{y}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar{y}_i,\V(\bar{\bar{y}})=\frac{1-f_1}{n}S_1^2+\frac{1-f_2}{nm}S_2^2,\v(\bar{\bar{y}})=\frac{1-f_1}{n}s_1^2+\frac{f_1(1-f_2)}{nm}s_2^2. \]

10. 放回不等概抽样的汉森-赫维茨估计量。

    \[\hat{Y}_{HH}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{y_i}{Z_i},\V(\hat{Y}_{HH})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}Z_i\left(\frac{Y_i}{Z_i}-Y \right)^2,\v(\hat{Y}_{HH})=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{y_i}{Z_i}-\hat{Y}_{HH} \right)^2. \]

11. 两阶段放回不等概抽样的汉森-赫维茨估计量。

    \[\hat{Y}_{HH}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{\hat{Y}_i}{Z_i},\V(\hat{Y}_{HH})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}Z_i\left(\frac{Y_i}{Z_i}-Y \right)^2+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}\frac{V_2(\hat{Y}_i)}{Z_i},\v(\hat{Y}_{HH})=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\hat{Y}_i}{Z_i}-\hat{Y}_{HH} \right)^2. \]

12. 不放回不等概抽样中严格\(\mathrm{\pi PS}\)的赫维茨-汤普森估计量，\(n\)固定

    \[\hat{Y}_{HT}=\sum_{i=1}^{n}\frac{y_i}{\pi_i},\V(\hat{Y}_{HT})=\sum_{i<j}^{N}(\pi_i\pi_j-\pi_{ij})\left(\frac{Y_i}{\pi_i}-\frac{Y_j}{\pi_j} \right)^2,\v_{YGS}=\sum_{i<j}^{N}\frac{\pi_i\pi_j-\pi_{ij}}{\pi_{ij}}\left(\frac{y_i}{\pi_i}-\frac{y_j}{\pi_j} \right). \]

13. 不严格\(\mathrm{\pi PS}\)的耶茨-格伦迪抽样的Raj估计量，\(n\)不固定。

    \[t_i=\sum_{j=1}^{i-1}y_j+\frac{y_i}{Z_i}\left(1-\sum_{j=1}^{i-1}Z_i \right),\\hat{Y}_{Raj}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}t_i,\v(\hat{Y}_{Raj})=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(t_i-\hat{Y}_{Raj})^2. \]

14. 分层二重抽样。

    \[\bar{y}_{stD}=\sum_{h=1}^{L}w_h‘\bar{y}_h,\V(\bar{y}_{stD})=\left(\frac{1}{n‘}-\frac{1}{N} \right)S^2+\sum_{h=1}^{L}\frac{W_h^2S_h^2}{n‘}\left(\frac{1}{f_{hD}}-1 \right),\v(\bar{y}_{stD})\approx \sum_{h=1}^{L}\frac{w_h‘s_h^2}{n_h}+\frac{1}{n‘}\sum_{h=1}^{L}w_h‘(\bar{y}-\bar{y}_{stD}). \]

15. 分层抽样比估计。

    \[\bar{y}_{RD}=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}\bar{x}‘,\quad r=\frac{\bar{y}}{\bar{x}},\V(\bar{y}_{RD})\approx \left(\frac{1}{n‘}-\frac{1}{N} \right)S_y^2+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n‘} \right)(S_y^2-2RS_{yx}+R^2S_x^2),\v(\bar{y}_{RD})=\frac{1}{n}s_{y}^2+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n‘} \right)(r^2s_{x}^2-2rs_{yx}). \]

16. 等距等概率系统抽样。

    \[\bar{y}_{sy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar{y}_{i},\V(\bar{y}_{sy})=\frac{N-1}{N}S^2-\frac{k(n-1)}{N}S_{wsy}^2. \]

17. 捕获再捕获抽样。

    \[\tilde{N}=\frac{(n_1+1)(n_2+1)}{m+1}-1,\v(\tilde{N})=\frac{(n_1+1)(n_2+1)(n_1-m)(n_2-m)}{(m+1)^2(m+2)}. \]

其他公式

1. 分层抽样的最优分配与Neyman分配：

   \[n_h\propto\frac{W_hS_h}{\sqrt{c_n}}\xlongequal{c_n=c}W_hS_h. \]

2. 整群抽样的三大方差以及相应的估计：

   \[S^2=\frac{1}{NM}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}(Y_{ij}-\bar{\bar{Y}})^2,\S_b^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}M(\bar{Y}_i-\bar{\bar{Y}})^2,\S_{w}^2=\frac{1}{N(M-1)}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^2,\s_b^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}M(\bar{y}_i-\bar{\bar{y}})^2,\s_w^2=\frac{1}{n(M-1)}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{M}(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^2. \]

3. 整群抽样的群内相关系数估计，设计效应：

   \[\hat\rho_c=\frac{s_b^2-s_w^2}{s_b^2+(M-1)s_w^2},\deff\approx 1+(M-1)\hat\rho_c. \]

4. Brewer抽样方法抽取第一个样本的概率，入样概率：

   \[Z_i^*\propto\frac{Z_i(1-Z_i)}{1-2Z_i},\\pi_i=2Z_i,\\pi_{ij}=\frac{4Z_iZ_j(1-Z_i-Z_i)}{(1-2Z_i)(1-2Z_j)\displaystyle{\left(1+\sum_{i=1}^{N}\frac{Z_i}{1-2Z_i}\right)}}. \]

5. 水野法抽取第一个样本的概率：

   \[Z_i^*=\frac{n(N-1)Z_i}{N-n}-\frac{n-1}{N-n}. \]

6. 分层二重抽样的最优方差比：

   \[f_{hD}=S_h\sqrt{\frac{c_1}{c_{2h}\displaystyle{\left(S^2-\sum_{h=1}^{L}W_hS_h^2 \right)}}}. \]

7. 二重抽样比估计的最优二重抽样比：

   \[f=\sqrt{\frac{c_1(S_y^2+R^2S_x^2-2RS_{yx})}{c_2(2RS_{yx}-R^2S_x^2)}}. \]

抽样调查：证明与练习

原文：https://www.cnblogs.com/jy333/p/Sampling_Survey_Extra.html