第五章-多元函数

1,圆柱体的体积

• V = πr²h, {(r,h) | r>0, h>0}
• 三角形面积的海伦公式(p = (a+b+c)/2)    ===> s = [p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2

定义1: 设非空点集 D€Rn, 映射f:D→R称为定义在D上的n元函数, 记作

• u= f(x₁+ x₂+ ,...,+x_n) 或f(P), P € D, 点集D称为函数的定义域

二元函数的连续性

• 定义3: 设二元函数f(x,y)在点P0(x0, y0)的某邻域内有定义, 如果lim_x->x0y->y0f(x,y) = f(x₀, y₀), 则称二元函数z = f(x,y)在点P₀连续, 如果函数在D上各点处都连续, 则称此函数在D上连续
• 闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
  • 定理: 若f(P)在有界闭域D上连续, 则:
    • EK > 0,使|f(p)| ≤ K, P€D    (有界性定理)
    • f(P)在D上可取得最大值M以及最小值m;    (最值定理)

一,偏导数定义及其计算法

• 定义1: 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内极限lim_Δx→0 f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀, y₀)/Δx存在, 则称此极限围函数z = f(x,y)在点(x0, y0)对x的偏导数, 记作 ?z/?x| (x₀, y₀), ?f/?x| (x₀, y₀) , zx| (x₀, y₀), fx(x₀,y₀)
• 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数, 例如: 三元函数 u= f(x, y, z)在点(x,y,z)处对于x的偏导数定义为:
  • fx(x,y,z) = lim_Δx→0 f(x+Δx, y,z) - f(x,y,z)/Δx

二, 高阶偏导数

• 设 z = f(x,y)在域D内存在连续的偏导数, ?z/?x = f_x(x,y), ?z/?y = f_y(x,y)
• 若这两个偏导数仍存在偏导数, 则称它们是z = f(x,y)的二阶偏导数, 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
  • ?/?x(?z/?x) = ?²z/?x² = f_xx(x,y)
  • ?/?y(?z/?x) = ?²z/?x?y = f_xy(x,y)
  • ?/?x(?z/?y) = ?²z/?y?x = f_yx(x,y)
  • ?/?y(?z/?y) = ?²z / ?y² = fy_y(x,y)
• 定理: 若f_xy(xy)和f_yx(x,y)都在点(x₀, y₀)连续, 
  • f_xy(x₀,y₀) = f_yx(x₀,y₀)
• 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立, 例如, 对三元函数u = f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时, 有
  • f_xyz(x,y,z) = f_yzx(x,y,z) = f_zxy(x,y,z) = f_xzy(x,y,z) = f_yxz(x,y,z) = f_zyx(x,y,z)

三, 全微分的定义

•  定义: 如果函数z = f(x,y)在定义域D的内点(x,y)处全增量, Δz = f(x+Δx, y+Δy) - f(x,y)可表示成
  • Δz = AΔx + BΔy + ο(ρ)
• 由微分定义:
  • limΔ_{x→0 Δy→0}Δz = limρ→0[(AΔx+BΔy) + ο(ρ)] = 0, 得:
  • lim_{Δx→0 Δy→0}f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) 即:
  • 函数z = f(x,y)在点(x,y)可微==>函数在该点连续

第五章-多元函数

原文：https://www.cnblogs.com/ljc-0923/p/14868117.html