圆锥曲线小结

最近遇到一点与圆锥曲线有关的东西，感觉自己什么都不会，水平连两千年前的古希腊人都不如...高中睡过去的数学课只能现在来补了QAQ
希望看到这里的高中同学不要重蹈覆辙，上数学课的时候不要睡觉...

定义：平面上有一条直线\(l\)（准线）和一个点\(F\)（焦点），直线到点的距离为\(d\)。有一个大于\(0\)的常数\(e\)（离心率）。圆锥曲线是所有满足以下条件的点的集合：
设该点到直线\(l\)的距离为\(D_l\)，到点\(F\)的距离为\(D_F\)，则\(\frac{D_F}{D_l}=e\)。

• 当\(0<e<1\)，该曲线被称为椭圆
• 当\(e=1\)，该曲线被称为抛物线
• 当\(e>1\)，该曲线被称为双曲线

所有二次曲线都可以被归类为圆、椭圆、抛物线、双曲线和一些退化情形。

以焦点为极点的极坐标形式 把\(F\)放在极点上，把\(l\)放在极点左侧，令其与极轴垂直。\(D_l=d+r\cos\theta\)，\(D_F=r\)，所以

直角坐标形式 还是把\(F\)放在原点上，把\(l\)放在原点左侧，使之与\(x\)轴垂直，则\(D_F=\sqrt{x^x+y^2}\)，\(D_l=x+d\)，所以

两边平方，

整理得到

假设\(e\neq 1\)（不是抛物线），两侧除以\(1-e^2\)，

对\(x\)配平方，

用\(x+\frac{e^2d}{1-e^2}\)代替\(x\)（相当于把坐标系向右平移\(\frac{e^2d}{1-e^2}\)），等式变为

即

令\(A=\frac{e^2d^2}{(1-e^2)^2}\)，\(B=\frac{e^2d^2}{1-e^2}\)，则

根据刚刚得到的结果，在适当的坐标系下，椭圆和双曲线有形如\(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\)的统一形式。定义\(C=(\frac{e^2d}{1-e^2})^2\)。这是一些值得注意的细节：

• 准线\(l\)与\(x\)轴垂直，焦点\(F\)在二者交点右侧距离\(d\)处，坐标系原点被放置在距焦点\(\sqrt{C}\)处
• 曲线关于原点中心对称，关于\(x,y\)轴对称
• 当\(0<e<1\)，即曲线为椭圆时，\(B>0\)，原点位于焦点右侧
• 当\(e>1\)，即曲线为双曲线时，\(B<0\)，原点位于焦点左侧
• \(A,C\)一定为正值
• \(C=A-B\)

在给定直角坐标系下的方程，已知\(A,B\)的情况下，同样可以计算出\(d,e\)：

这样，在定义（给出\(d,e\)）、极坐标形式（给出焦点处\(r,\theta\)的关系）、直角坐标形式（给出以对称中心为原点，两个对称轴为坐标轴的\(x,y\)关系）这三种形式之间就可以自由转换。

习惯上，定义\(a=\sqrt{A}=|\frac{ed}{1-e^2}|\)，\(b=\sqrt{|B|}=\frac{ed}{\sqrt{|1-e^2|}}\)，\(c=|\frac{e^2d}{1-e^2}|\)，然后就得出高中课本里的公式了：

• 椭圆方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
• 椭圆半焦距\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，离心率\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)，焦点与准线的距离\(d=\frac{b^2}{c}\)
• 双曲线方程：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
• 双曲线半焦距\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)，离心率\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)，焦点与准线的距离\(d=\frac{b^2}{c}\)

椭圆和双曲线的方程从相同的形式分化成了略微不同的形式，原因就在于定义\(a,b,c\)时引入的绝对值符号。

圆锥曲线小结

原文：https://www.cnblogs.com/blogofddw/p/14775498.html