1.平面图形的面积
（1）一般形式
<1>
\(设平面图形是由两条曲线y=f_1(x)，y=f_2(x)及两条直线x=a，x=b所围成的，其中f_1(x)，f_2(x)均在[a,b]上连续，且f_2(x) \geq f_1(x)，则该平面图形的面积为A = \int_a^b [f_2(x)-f_1(x)]{\rm d}x\)
<2>
\(设平面图形是由两条曲线x=g_1(y)，x=g_2(y)及两条直线y=c，y=d所围成的，其中g_1(y)，g_2(y)均在[a,b]上连续，且g_2(y) \geq g_1(y)，则该平面图形的面积为A = \int_c^d [g_2(x)-g_1(x)]{\rm d}x\)
（2）参数方程形式
\(A=\int_a^b |f(x)|{\rm d}x=\int_{\alpha}^{\beta}|\psi(t)|\phi‘(t){\rm d}t\)
（3）极坐标方程形式
曲边扇形：\(由连续曲线r=r(\theta)与\theta=a,\theta=b（a<b）所围成的平面图形称为曲边扇形\)
\(A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta){\rm d}\theta\)
2.立体体积
（1）A(x)为截面面积函数，且在[a,b]上连续，则\(V=\int_a^b A(x){\rm d}x\)
（2）旋转体的体积
x=a,x=b,绕x轴旋转：
\(V=\pi \int_a^b f^2(x){\rm d}x\)
y=a,y=b,绕y轴旋转：
\(V=\pi \int_a^b g^2(y){\rm d}y\)
x=a,x=b,绕y轴旋转：
\(V=2\pi\int_a^b xf(x){\rm d}x\)
题目：
教科书P253 例6.2.9 例6.2.10
3.平面曲线的弧长
（1）一般形式
\(设函数y=f(x)在区间[a,b]上具有连续导数，则曲线y=f(x)在区间[a,b]上的弧长为s=\int_a^b \sqrt{1+f‘(x)}{\rm d}x\)
（2）参数方程形式
\(s=\int_a^b \sqrt{\phi‘^2(t)+\psi‘^2(t)}{\rm d}t\)
（3）极坐标形式
\(s=\int_a^b \sqrt{r^2(\theta)+r‘^2(\theta)}{\rm d}\theta\)
PS：注意\(s \neq \int_a^b r(\theta){rm d}\theta\)，因为无法保证误差为\(\Delta x\)的高阶无穷小
4.平面图形的曲率
曲率定义：
\(设曲线弧MN两端点处切线改变角为\Delta\alpha，曲线弧MN的长度为\Delta s，称比值|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|为曲线弧MN的平均曲率，记为\bar K\)
\(|\underset{N \to M}{lim}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|=|\frac{{\rm d}\alpha}{{\rm d}s}|=K为曲线在M处的曲率\)
曲率计算：
（1）一般形式
\(若函数y=f(x)二阶可导，则曲线在点M(x,y)处的曲率为\)
（2）参数方程形式
曲率圆：
\(如果曲线上点M处的曲率不为0，就称R=\frac{1}{K}为曲线在M处的曲率半径，并在M处凹向法线上取点C(x_1,y_1)使|CM|=R，则C为曲率中心，以
C为圆心，R为半径的圆为曲率圆\)
5.旋转体的侧面积
（1）一般形式
\(设函数y=f(x)在[a,b]上具有连续导数，且f(x) \geq 0，则由x轴，直线x=a，x=b，以及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的侧面积为S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f‘^2(x)}{\rm d}x\)
PS：圆台侧面积\(S=\pi l(R+r)\)
（2）参数方程形式
\(S=2\pi \int_{\alpha}^{\beta} \psi(t)\sqrt{\phi‘^2(t)+\psi‘^2(t)}{\rm d}t\)
题目：
1.\(x^2+y^2=R^2，（R>0），x \in [x_1,x_2] \subset [-R,R]，将该图形绕x轴旋转形成球台，则侧面积为S=2\pi R(x_2-x_1)\)
原文：https://www.cnblogs.com/Deliberator/p/14197954.html