①\(BC\perp AD\)；
②二面角 \(P-AB-C\) 的平面角为 \(\angle PBC\)；
③直线 \(PA\) 与平面 \(ABC\) 所成角的大小为 \(\cfrac{\pi}{3}\)；
④两条异面直线\(AB\)和\(PC\)间的距离为\(\cfrac{3\sqrt{3}}{4}\)；
⑤直线 \(FD\) 与直线 \(PC\) 所成角的余弦值为 \(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)；
⑥三棱锥 \(P-ABC\) 的体积为 \(\cfrac{3}{4}\)；
解析：本题目的信息量有点太大，具体解析如下，
①\(BC\perp AD\)；
分析：由于点 \(A\) 在侧面 \(PBC\) 上的射影为 \(H\)，故\(AH\perp\)平面\(PBC\)，由于\(BC\subsetneqq PBC\)，故\(AH\perp BC\)；
又由于\(H\) 是 \(\triangle PBC\) 的垂心，故\(PD\perp BC\)，
由\(BC\perp AH\)，\(BC\perp PD\)，且又\(AH\)，\(PD\subsetneqq\) \(PAD\)、\(AH\cap PD=H\)，
则\(BC\perp\)平面\(PAD\)，又\(AD\subsetneqq\) \(PAD\)，则得到\(BC\perp AD\)；故①成立；
②二面角 \(P-AB-C\) 的平面角为 \(\angle PBC\)；
分析：如图所示，延长\(BH\)交\(PC\)于点\(E\)，连结\(AE\)，
则由\(AH\perp PC\)，\(BE\perp PC\)（垂足），\(AH\cap BE=H\)，\(AH\)、\(BE\subsetneqq\) \(ABE\)，
故\(PC\perp\)面\(ABE\)，\(AB\subsetneqq\)面\(ABE\)，
则有\(PC\perp AB\)，又\(PO\perp AB\)，\(PC\cap PO=P\)，\(PC\)、\(PO\subsetneqq\) \(POC\)，
则\(AB\perp POC\)，\(CO\subsetneqq\)面\(POC\)，
则得到\(AB\perp CO\)，则\(AB\perp CF\)，
故\(O\)为\(\triangle ABC\)的垂心，又由于三角形为正三角形，
故\(O\)是\(\triangle ABC\)的中心，
故\(P-ABC\)为正三棱锥。
故可知，点\(D\)，\(F\)分别为中点，连结\(PF\)，则可得到\(PF\perp AB\)，
则\(\angle PFC\)为二面角 \(P-AB-C\) 的平面角。故②错误；
③直线 \(PA\) 与平面 \(ABC\) 所成角的大小为 \(\cfrac{\pi}{3}\)；
分析：连结\(EF\)，由①②可知，\(AB\perp\)平面\(PCF\)，故\(AB\perp EF\)，又\(PC\perp\)平面\(ABE\)，故\(PC\perp EF\)，
故线段\(EF\)为两条异面直线\(AB\)和\(PC\)的公垂线，又由于\(CF\perp AB\)，
故\(\angle EFC\)为二面角\(H-AB-C\)的平面角，则由已知得\(\angle EFC=\cfrac{\pi}{6}\).
设正三角形\(ABC\)的边长为\(2x\)，则\(BD=FB=x\)，则\(CF=\sqrt{3}x\)，
在\(Rt\triangle CEF\)中，由于\(\angle CFE=\cfrac{\pi}{6}\)，故\(CE=\cfrac{\sqrt{3}}{2}x\)，\(EF=\cfrac{3}{2}x\)；
在\(Rt\triangle CEB\)中，可得\(BE^2=BC^2-CE^2=(2x)^2-(\cfrac{\sqrt{3}}{2}x)^2=\cfrac{13}{4}x^2\)，
且由于是正三棱锥，有\(BE=AE\)；
又在\(Rt\triangle PAF\)中，则\(PF^2==PA^2-AF^2=2^2-x^2=4-x^2\)，
则在\(Rt\triangle PEF\)中，\(PE^2=PF^2-EF^2=4-x^2-\cfrac{9}{4}x^2=4-\cfrac{13x^2}{4}\)，
由已知\(PA=2=PC\)，即\(PE+CE=PC=2\)，即\(\sqrt{4-\cfrac{13x^2}{4}}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}x=2\)，
移项，得到\(\sqrt{4-\cfrac{13x^2}{4}}=2-\cfrac{\sqrt{3}}{2}x\)，两边平方，解得\(x=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
故可得\(AB=BC=AC=\sqrt{3}\)，\(BD=BF=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(AD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\times\sqrt{3}=\cfrac{3}{2}\)，
则由点\(O\)为正三角形\(ABC\)的重心，得到\(AO=\cfrac{3}{2}\times \cfrac{2}{3}=1\)，
在\(Rt\triangle PAO\)中，\(PA=2\)，\(AO=1\)，故\(\angle PAO=\cfrac{\pi}{3}\).
即直线 \(PA\) 与平面 \(ABC\) 所成角的大小为 \(\cfrac{\pi}{3}\)；
④两条异面直线\(AB\)和\(PC\)间的距离为\(\cfrac{3\sqrt{3}}{4}\)；
分析：由上可知，线段\(EF\)为两条异面直线\(AB\)和\(PC\)的公垂线，
且\(EF=\cfrac{3}{2}x=\cfrac{3}{2}\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{3\sqrt{3}}{4}\)；
即两条异面直线\(AB\)和\(PC\)间的距离为\(\cfrac{3\sqrt{3}}{4}\)；故④正确；
⑤直线 \(FD\) 与直线 \(PC\) 所成角的余弦值为 \(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)；
分析：由于点\(D\)， \(F\)分别是线段\(BC\)和\(AB\)的中点，故\(DF//AC\)，
则直线 \(FD\) 与直线 \(PC\) 所成角的也就是直线 \(AC\) 与直线 \(PC\) 所成的角，
由上可知是正三棱锥，故在\(\triangle PAC\)中，\(PA=PC=2\)，\(AC=AB=BC=\sqrt{3}\)，
故由余弦定理或者构造\(Rt\triangle\)可得到，\(\cos\angle PCA=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\)，故④错误；
⑥三棱锥 \(P-ABC\) 的体积为 \(\cfrac{3}{4}\)；
分析：由上可知，\(PC=2\)，\(CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(PD^2=PC^2-CD^2=2^2-(\cfrac{\sqrt{3}}{2})^2=\cfrac{13}{4}\)，
则\(PO^2=PD^2-OD^2=\cfrac{13}{4}-\cfrac{1}{4}=3\)，即\(PO=\sqrt{3}\)，
故\(V_{P-ABC}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot PO=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(\sqrt{3})^2\cdot \sqrt{3}=\cfrac{3}{4}\)，故⑥正确，
综上所述，正确的命题有：①③④⑥；
原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/14004975.html