设 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵
定义映射
根据定义,有如下性质:
一个映射 \(\varphi: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\) 称为线性映射,如果 \(\varphi (\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \varphi(k\alpha) = k \varphi(\alpha), \forall \alpha, \beta \in \mathbb F^n, k \in \mathbb F\)
特别地,\(m = n\) 时称为线性变换。
设 \(\varphi: \mathbb F^n \to \mathbb F^m\) 是一个线性映射,则存在一个矩阵 \(\mathbb F^n \to \mathbb F^m\) 都具有这种形式。
构造单位矩阵即可
记 \(\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) := \{\mathbb{F}^n 到 \mathbb{F}^m的所有线性映射\}\)
存在一个双射
对于 \(\varphi, \psi \in\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\) ,定义 \(\varphi + \psi\) 如下:
\((\varphi + \psi) (\alpha) = \varphi(\alpha) + \psi(\alpha), \forall \alpha \in \mathbb F^n\)
仍然是个线性映射,即 \(\varphi + \psi \in\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\)
可以验证,\(\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\) 可以定义如上的加法运算及数乘运算满足 \(\text{(VS1) - (VS8)}\) 。
定义两个矩阵的和和矩阵的数乘与矩阵的乘积,也满足 \(\text{(VS1) - (VS8)}\) 。
\(\phi_B: \mathbb{F}^s \to \mathbb{F}^n, \phi_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\)
它们的合成\(\phi_A \circ \phi_B: \mathbb{F}^s \to \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\) 有 \(C = A B\) 使得 \(\phi_A \circ \phi_B = \phi_C\) 。
矩阵的乘积是一个代数运算。
满足结合律、分配率,数乘的结合律。
定义 \(n\) 阶单位矩阵 和 \(n\) 阶方阵,以及矩阵的幂。
定义对角矩阵,若 \(D = d I_n\) 那么 \(D\) 为纯量矩阵或标量矩阵。
定义 (严格)上/下三角矩阵。
若 \(A^T = A\) 则 \(A\) 为对称矩阵,\(A^T = -A\) 为反对称矩阵。
定义共轭矩阵,以及运算规则:\(\overline{A + B} = \overline{A } + \overline{B}; \overline{cA} = \overline c \overline A; \overline{AB} = \overline A ~\overline B\)
若 \(\overline A^T = A\) 则称 \(A\) 为埃尔米特矩阵。
\(r(AB) \le \min \{r(A), r(B)\}\)
可将复数域 \(\mathbb C\) 看成 \(M_2(\mathbb R)\) 的子集,
乘法即对应两个 \(2\) 阶实矩阵的乘积是一致的。
可将四元数体 \(\mathbb H\) 看成 \(M_2(\mathbb C)\) 的子集,也可看成 \(M_4(\mathbb R)\) 的子集。
定义 可逆矩阵、逆矩阵、不可逆的。
注:\(A, B\) 都为 \(n\) 阶可逆军阵,则 \(A \pm B\) 不一定可逆,反之也不成立。
\(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(r(A) = n\)
\(\Rightarrow: \mathrm r(A) \le n = \mathrm r(I_n) = r(AB) \le r(A)\)
\(\Leftarrow:\) 等价于 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 那么可以构造一个线性组合满足这个变换,就可以证明了。
若 \(\mathrm r(A) = n\) 则 \(A\) 为非退化的,否则 \(A\) 是退化的。
若 \(AB = I_n\) 或 \(BA = I_n\) 则 \(A\) 可逆且 \(B = A^{-1}\) 。
那么线性方程组可以表示为 \(Ax = \beta\) ,则唯一解可以表示为 \(x = A^{-1} \beta\) 。
设 \(A\) 可以通过初等变换变成 \(B\) 那么称 \(A\) 与 \(B\) 等价或相抵 ,记作 \(A \sim B\),矩阵的等价是一个等价关系。
任何一个矩阵 \(A\) 都等价于矩阵 \(\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) 其中 \(r = \mathrm r(A)\) ,并称 \(B\) 是 \(A\) 在等价下的标准形或相抵标准形。
则可得到 \(A \sim B \Leftrightarrow \mathrm r(A) = \mathrm r(B)\) 因此 \(M_{m, n}(\mathbb F)\) 的等价类个数为 \(1 + \min\{m, n\}\) 。
对 \(I_n\) 进行一二三类初等变换得到的矩阵,分别称为一二三类初等矩阵。
有 \(P_{ij}^{-1} = P_{ij}, D_i(c)^{-1} = D_i(c^{-1}), T_{ij}(c)^{-1} = T_{ij}(-c)\)
左乘初等矩阵相当于进行行变换,右乘则为列变换。
若 \(A \sim B\) ,则存在可逆矩阵 \(P, Q\) 使得 \(PAQ = B\)
\(A\) 可逆当且仅当 \(A \sim I_n\) 。
\(A\) 可逆当且仅当 \(A\) 可以表示成若干个初等矩阵的矩阵。
设 \(A\) 是个可逆矩阵,可仅用初等行/列变化把 \(A\) 化为单位矩阵 \(I_n\)。
由 \(P_m \cdots P_1 A = I_n\) 可推得 \(A^{-1} = P_m \cdots P_1 I_n\) 则可推出求逆的步骤。
定义分块矩阵,及其一些基础运算。
设 \(P = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B\end{pmatrix}\) ,\(A, B\) 可逆,求 \(P^{-1}\) 。
设 \(X\) 为逆矩阵,然后有 \(PX = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ 0 & I_t\end{pmatrix}\) 然后解四个方程即可。
接下来定义分块对角矩阵。
然后定义分块初等变换,对于第二类可以把 \(c\) 换成可逆矩阵,对于第三类可以把 \(c\) 换成任意矩阵(如果可以加的话)
然后可以利用这个与矩阵求逆求出 \(P^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ 0 & B^{-1}\end{pmatrix}\)
\(\mathrm r(A + B) \le \mathrm r(A) + \mathrm r(B)\)
\(\mathrm r(A + B) \le \mathrm r(\begin{pmatrix} A & A + B\\ 0 & B\end{pmatrix}) = \mathrm r(\begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & B\end{pmatrix}) = \mathrm r(A) + \mathrm r(B)\)
原文:https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/13937188.html