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记 \(f_S\) 表示第一次到达 \(S\) 状态的期望步数,\(p_{\{i\}}\) 表示将当前状态异或上 \(\{i\}\) 的概率，则有：
\[\begin {align*}
f_{\emptyset} & = 0 \ f_S & = 1 +\sum_{j\bigoplus k}f_jp_k \\end {align*}
\]
记 \(\hat{f}\) 表示 \(f\) 的 \(\operatorname{FWT}\) 结果，其余同理，则有：
\[\hat{f}=\hat{I}+\hat{f}\hat{p}+c
\]
其中，\(I=\sum_S x^S\)，\(c\) 是一个用于修正 \(f_{\emptyset}\) 的常数。
移项，得：
\[\hat{f}_S(1-\hat{p}_S) = \hat{I}_S+c
\]
注意到 \(\hat{p}_{\emptyset} = 1, \hat{I}_{\emptyset}=2^n\)，故 \(c = -2^n\)。且 \(\forall S\neq\emptyset\)，有 \(\hat{p}_S < 1\)，故：
\[\begin {align*}
\hat{f}_S & = \frac {-2^n}{1-\hat{p}_S} \ & = \frac {-2^n}{1-\sum_T\hat{p}_T\left(-1\right)^{|S\cap T|}} \ & = \frac {-2^n}{2\sum_{i\in S}p_i}
\end{align*}
\]
把答案手动 \(\operatorname {IFWT}\) 回去，有：
\[\begin {align*}
f_S & = \frac 1{2^n}\sum_T\left(-1\right)^{|S\cap T|}\hat{f}_T \ & = \frac {\hat{f}_{\emptyset}}{2^n} - \sum_{T\neq\emptyset}\left(-1\right)^{|S\cap T|}\frac 1{2\sum_{i\in T}p_i}
\end{align*}
\]
由 \(f_{\emptyset}=\frac 1{2^n}\sum_T \hat{f}_T=0\) 有 \(\hat{f}_{\emptyset}=-\sum_{T\neq\emptyset}\hat{f}_T\)，代入化简，得：
\[\begin {align*}
f_S & = \sum_{T\neq\emptyset}\left(1-\left(-1\right)^{|S\cap T|}\right)\frac 1{2\sum_{i\in T}p_i} \ & = \sum_{T\neq\emptyset}\frac{[|S\cap T|\mod 2=1]}{\sum_{i\in T}p_i}\\end {align*}
\]
注意到 \(\sum p\) 很小，直接大力 dp 就好了，复杂度 \(\operatorname O(n\sum p)\)。
可以使用多项式技巧继续优化，在本题中没有必要。
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「ZJOI2019」开关
原文：https://www.cnblogs.com/realSpongeBob/p/ZJOI2019D2T1.html
