定义 形式幂级数（以下简称幂级数）为一个形如 \(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\) 形式的表达式。（注意：这里只是形式，不需要在意它表示什么），序列 \(\{a_n\}\) 称之为它的 系数序列。称两个幂级数 相等 当且仅当它们的系数序列相同。
为简便，记 \([x^n]f(x)\) 表示幂级数 \(f\) 的 \(n\) 次项系数。另外，也用 \(f(0)\) 表示 \(f\) 的 \(0\) 次项系数。
我们可以对其做一些运算，例如 加法 或 减法。其定义是：
幂级数的乘法由卷积来定义，即：
其中
现在你可以验证其满足各种我们所熟知的规律，比如加法交换律、加法结合律、乘法交换/结合律、乘法分配律等等（因此它们构成了一个环）。这些都很简单。
加法交换律：
对于任意两个幂级数 \(f,g\)，有 \(f+g=g+f\)
Proof：
\[\begin{aligned}f+g&=\sum_n [x^n]f(x)x^n+\sum_n [x^n]g(x)x^n\\&=\sum_n([x^n]f(x)+[x^n]g(x))x^n\\&=\sum_n([x^n]g(x)+[x^n]f(x))x^n\\&=\sum_n [x^n]g(x)x^n+\sum_n [x^n]f(x)x^n\\&=g+f\end{aligned} \]
加法
生成函数（generating function）又称母函数，是处理组合数学问题的一大利器。
它是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
生成函数有许多不同的种类，但大多可以表示为单一的形式：
其中 \(k_n(x)\) 被称为核函数。不同的核函数会导出不同的生成函数，拥有不同的性质。举个例子：
原文：https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/13903991.html