假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为\(p_1，p_2，……，p_n，设 N = p_1× p_2×……×p_n\)，那么，N+1是质数或是合数。如果N+1为质数，则N+1要大于\(p_1，p_2，……，p_n\)，所以它不在那些假设的质数集合中。如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个质数的积，然而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被\(p_1，p_2，……，p_n\)整除，所以该合数分解得到的质因数肯定不在假设的质数集合中。因此无论该数是质数还是合数，都意味着在假设的有限个质数之外还存在着其他质数，也就是说质数有无穷多个。
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