特殊矩阵的特征值与特征向量

1 对称矩阵

   当矩阵中所有元素均为实数时，满足  时，该矩阵为对称矩阵 ； 其特征值均为实数，特征向量相互正交。

   特征值为实数证明如下：

   ，两边同时取共轭得 ，，

   由于 A 为实矩阵，，由于 A 为对称矩阵，两边转置后得 ，

   两边同时乘 x 得 ，

   对  两边同时乘  得 ，

   对比   与  得 ，故  为实数；

   特征向量相互正交证明如下：

   假设有两特征向量满足 ，，

   要证明两向量正交，需要构造  表达式，通过矩阵 A 可建立如下联系：

   ，，

   由于特征值为实数且不相等， ，，故特征向量相互正交；

2 Hermitian 矩阵

   在复平面上，向量 x 得长度定位为 ，

   向量 x，y 正交定义为 ，

   如果 ，该矩阵为复数域中的对称矩阵，被称为 Hermitian 矩阵，；

   由于实数域是复数域的一个子集，实数域中的对称矩阵也是复数域中的 Hermitian 矩阵；Hermitian 矩阵的特征值为实数，特征向量相互正交。

    特征值为实数证明如下：

    ，由于 ，c 为一复数，，c 为一实数，

    ，，，

     为特征向量的模长，该模长为一实数，且特征向量不为零使得 ，故特征值为实数；

    特征向量相互正交证明如下：

    假设有两特征向量满足 ，，

    ，

    由于特征值为实数，，由于 ，由于 ，，两特征向量正交；

参考资料 Linear Algebra And Its Applications   Gilbert Strang

特殊矩阵的特征值与特征向量

原文：https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/13418350.html