傅里叶级数

• 目的：
  构造任意周期函数的通用近似表达式\(f(x)\)

  没有对错，只有近似

• 已知：

  1. 常函数是周期函数，因此只要\(f(x)\)中包含常数项\(C\)，\(f(x)\)即可包含常函数

  2. 任意函数都可以分解为奇函数与偶函数之和

     \[f\left( x\right) =\dfrac{f\left( x\right) +f\left( -x\right) }{2}+\dfrac{f\left( x\right) -f\left( -x\right) }{2}=f_{even}+f_{odd} \]

  3. 假设目标函数周期为\(T\)，那么只要分部都是周期为\(T\)的形式，近似和形式\(f(x)\)的周期必为\(T\)

• 猜测了一种近似表达式：

  \[f\left( x\right) =C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos ( \dfrac{2\pi n}{T}x) +b_{n}\sin ( \dfrac{2\pi n}{T}x)\right) ,C\in R \]

  近似表达式没有对错之分

• 通用表达式的系数求解
  注意：此处项为函数向量
  说明：傅里叶级数中任意两个基互相正交，可用积化和差证明
  系数：

  \[a_{n}=\dfrac{2}{T}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}f\left( x\right) \cdot \cos ( \dfrac{2\pi nx}{T})dx,n\in \left\{ 0\right\} \cup N\b_{n}=\dfrac{2}{T}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}f\left( x\right) \cdot \sin ( \dfrac{2\pi nx}{T})dx,n\in N\\]

傅里叶级数

原文：https://www.cnblogs.com/ctrlplayer/p/13397537.html