先来介绍一下最值定理。
最值定理：当函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续函数时，则必存在实数 $m$ 和 $M$，使得
$$m \leq f(x) \leq M$$
其中 $m$ 为函数在区间上的最小值，$M$ 为最大值。
换句话说：闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值，它是一个有界的函数。
介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一。
函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且在区间的端点取不同的函数值 $f(a)=A,f(b)=B$，那么对于 $A,B$ 之间的任意一点 $C$，在
开区间 $(a,b)$ 上至少存在一点 $\xi$，使得
$$f(\xi) = C,\xi \in (a,b)$$
很明显值 $C$ 是与区间端点的函数值进行比较的，存在的 $\xi$ 不会取到区间端点。
我们对闭区间先使用最值定理，因为闭区间上的连续函数有界并且能取得最大值和最小值，对最大值点和最小值点所在的区间再使用介值
定理($m$ 和 $M$ 可以相等)，于是得到一个关于介值定理的推论：
闭区间上连续的函数必取得介于最大值 $M$ 和最小值 $m$ 之间的任何值。
原文：https://www.cnblogs.com/yanghh/p/13364306.html