已知函数\(f(x)=lnx-\frac{x+1}{x-1}\)
\((1)\) 讨论\(f(x)\)单调性，并证明\(f(x)\)有且仅有两个零点
\((2)\) 设\(x_0\)是\(f(x)\)的一个零点，证明曲线\(g(x)=lnx\)在点\(A(x_0,lnx_0)\)处的切线也是曲线\(h(x)=e^x\)的切线
解：
\((1)\)
\(f(x)\)在定义域\((0,1)∪(1,+∞)\)上单调增
当\(x\in (1,+∞)\)时
所以\(f(x)\)在\((1,+∞)\)存在唯一零点\(x_1,f(x_1)=0\)
\(0<\frac{1}{x_1}<1\)
所以在\((0,1)\)也有唯一零点\(\frac{1}{x_1}\)
综上，\(f(x)\)有且仅有两个零点
\((2)\)
因为\(\frac{1}{x_0}=e^{-lnx_0}\)，所以\(B(-lnx_0,\frac{1}{x_0})\)
可以得到\(g(x)\)上\(A(x_0,lnx_0)\)点处切线斜率为\(g‘(x_0)=\frac{1}{x_0}\)
\(h(x)\)上\(B(-lnx_0,\frac{1}{x_0})\)点处切线斜率为\(h‘(\frac{1}{x_0})=\frac{1}{x_0}\)
设直线\(AB\)的斜率为\(k\)
所以\(g(x_0)\)在\(A\)点处的切线也是\(h(\frac{1}{x_0})\)在\(B\)点处的切线
原文：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/13292293.html