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动态规划专题之背包问题

时间:2020-07-12 11:33:41      阅读:48      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

Acwing2 01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,NV,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N,V10000
0<vi,wi10000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例:

8
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1e3 + 7;
int v[M], w[M], dp[M], N, V;
int main() {
    scanf("%d%d", &N, &V);
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j - v[i]] + w[i], dp[j]);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[V]);
    return 0;
}

 

Acwing3 完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 的背包,每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,NV,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N,V10000
0<vi,wi10000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例:

10
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1e3 + 7;
int v[M], w[M], N, V, dp[M];
int main() {
    scanf("%d%d", &N, &V);
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = v[i]; j <= V; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[V]);
    return 0;
}

 

Acwing4 多重背包问题1

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件,每件体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,NV,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行,每行三个整数 vi,wi,si,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N,V1000
0<vi,wi,si1000

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例:

10
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int n, V;
    cin >> n >> V;
    vector<int> v(n + 1);
    vector<int> w(n + 1);
    vector<int> s(n + 1);
    vector<int> dp(V + 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++) {
                if (j >= k * v[i])
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[V]);
    return 0;
}

 

Acwing5 多重背包问题2

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件,每件体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,NV,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行,每行三个整数 vi,wi,si,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N1000
0<V2000
0<vi,wi,si2000

提示:

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例:

10
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
int vv[maxn], ww[maxn], s[maxn], N, V, v[maxn];
int dp[maxn], w[maxn];
int get(int x) {
    int p = 0, tot = 0;
    for (int i = 0; ; i++) {
        tot += pow(2, i);
        if (tot <= x) {
            p = i;
        }
        if (tot >= x)
            break;
    }
    return p;
}
int main() {
    int cnt = 0;
    cin >> N >> V;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> vv[i] >> ww[i] >> s[i];
    }
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int p = get(s[i]);
        int R = s[i] - pow(2, p + 1) + 1;
        for (int j = 0; j <= p; j++) {
            v[++cnt] = pow(2, j) * vv[i], w[cnt] = ww[i] * pow(2, j);
        }
        if (R)
            v[++cnt] = R * vv[i], w[cnt] = ww[i] * R;

    }
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << *max_element(dp, dp + 1 + V) << endl;
    return 0;
}

 

Acwing6 多重背包问题3

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件,每件体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,N,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行,每行三个整数 vi,wi,si,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N1000
0<V20000
0<vi,wi,si20000

提示

本题考查多重背包的单调队列优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例:

10
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 2e4 + 7;
int v[M], w[M], s[M], dp[M], q[M], N, V;
int cal(int i, int u, int k) {
    return dp[u + k * v[i]] - k * w[i];
}
int main() {
    scanf("%d%d", &N, &V);
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &s[i]);
        for (int u = 0; u < v[i]; u++) {
            int l = 1, r = 0;
            int maxp = (V - u) / v[i];
            for (int k = maxp - 1; k >= max(maxp - s[i], 0); k--) {
                while (l <= r && cal(i, u, q[r]) <= cal(i, u, k)) r--;
                q[++r] = k;
            }
            for (int p = maxp; p >= 0; p--) {
                while (l <= r && q[l] > p - 1) l++;
                if (l <= r) dp[u + p * v[i]] = max(dp[u + p * v[i]], cal(i, u, q[l]) + p * w[i]);
                if (p - s[i] - 1 >= 0) {
                    while (l <= r && cal(i, u, q[r]) <= cal(i, u, p - s[i] - 1)) r--;
                    q[++r] = p - s[i] - 1;
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= V; i++)
        ans = max(ans, dp[i]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

 

Acwing7 混合背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类:

  • 第一类物品只能用1次(01背包);
  • 第二类物品可以用无限次(完全背包);
  • 第三类物品最多只能用 si 次(多重背包);

每种体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,NV,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行,每行三个整数 vi,wi,si,用空格隔开,分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。

  • si=1 表示第 i 种物品只能用1次;
  • si=0 表示第 i 种物品可以用无限次;
  • si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次;

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N,V1000
0<vi,wi1000
1si1000

输入样例

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

输出样例:

8
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 2e4 + 7;
int v[M], w[M], s[M], dp[M], q[M], N, V;
int cal(int i, int u, int k) {
    return dp[u + k * v[i]] - k * w[i];
}
int main() {
    scanf("%d%d", &N, &V);
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &s[i]);
        if (s[i] > 0) {
            for (int u = 0; u < v[i]; u++) {
                int l = 1, r = 0;
                int maxp = (V - u) / v[i];
                for (int k = maxp - 1; k >= max(maxp - s[i], 0); k--) {
                    while (l <= r && cal(i, u, q[r]) <= cal(i, u, k)) r--;
                    q[++r] = k;
                }
                for (int p = maxp; p >= 0; p--) {
                    while (l <= r && q[l] > p - 1) l++;
                    if (l <= r) dp[u + p * v[i]] = max(dp[u + p * v[i]], cal(i, u, q[l]) + p * w[i]);
                    if (p - s[i] - 1 >= 0) {
                        while (l <= r && cal(i, u, q[r]) <= cal(i, u, p - s[i] - 1)) r--;
                        q[++r] = p - s[i] - 1;
                    }
                }
            }
        }
        else if (!s[i]) {
            for (int j = v[i]; j <= V; j++) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        else {
            for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= V; i++)
        ans = max(ans, dp[i]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

 

Acwing8 二维费用的背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包,背包能承受的最大重量是 M。

每件物品只能用一次。体积是 vi,重量是 mi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使物品总体积不超过背包容量,总重量不超过背包可承受的最大重量,且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,NV, M,用空格隔开,分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 N 行,每行三个整数 vi,mi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N1000
0<V,M100
0<vi,mi100
0<wi1000

输入样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

输出样例:

8
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int SZ = 1e3 + 7;
int dp[SZ][SZ], v[SZ], m[SZ], w[SZ], N, V, M;
int main() {
    scanf("%d%d%d", &N, &V, &M);
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        scanf("%d%d%d", &v[i], &m[i], &w[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
            for (int k = M; k >= m[i]; k--) {
                dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - v[i]][k - m[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[V][M]);
    return 0;
}

 

Acwing9 分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个,同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij,价值是 wij,其中 i 是组号,j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包,可使物品总体积不超过背包容量,且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 NV,用空格隔开,分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据:

  • 每组数据第一行有一个整数 Si,表示第 i 个物品组的物品数量;
  • 每组数据接下来有 Si 行,每行有两个整数 vij,wij,用空格隔开,分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值;

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N,V100
0<Si100
0<vij,wij100

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例:

8
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e2 + 7;
int N, V, s[maxn], v[maxn][maxn], w[maxn][maxn], dp[maxn];
int main() {
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = V; j >= 0; j--) {
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++) {
                if (j >= v[i][k])
                    dp[j] = max(dp[j - v[i][k]] + w[i][k], dp[j]);
            }
        }
    }
    cout << *max_element(dp, dp + 1 + V) << endl;
    return 0;
}

 

动态规划专题之背包问题

原文:https://www.cnblogs.com/HighLights/p/13287226.html

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