已知两条直线\(l_1：y=m\)和\(l_2：y=\frac{8}{2m+1}(m>0)\)
\(l_1\)与函数\(y=|log_2x|\)的图像从左到右交点为\(A,B\)，\(l_2\)与函数\(y=|log_2x|\)的图像从左到右交点为\(C,D\)
记线段\(AC\)在\(x\)轴上投影长度为\(a\)，线段\(BD\)在\(x\)轴上投影长度为\(b\)，求\(\frac{b}{a}\)的最小值
解答：
根据题意，图像是一条对数函数的绝对值加两个常函数
设下面的一条是\(l_1\)，上面那条是\(l_2\)
联立解析式可以得出
\[x_A=2^{-m},x_B=2^m,x_C=2^{-\frac{8}{2m+1}},x_D=2^{\frac{8}{2m+1}}
\]
\[\frac{b}{a}=\frac{|2^{\frac{8}{2m+1}}-2^{m}|}{|2^{-m}-2^{-\frac{8}{2m+1}}|}
\]
\[=\frac{|2^{\frac{8}{2m+1}}-2^{m}|}{|\frac{1}{2^{-m}}-\frac{1}{2^{\frac{8}{2m+1}}}|}
\]
\[=\frac{|2^{\frac{8}{2m+1}}-2^{m}|} { |\frac{2^m-2^{\frac{8}{2m-1}}} {2^m2^{\frac{8}{2m-1}}}| }
\]
\[={2^{m+\frac{8}{2m-1}}}
\]
显然\(2^x\)是增函数，考虑让指数最小
\[m+\frac{8}{2m+1}=\frac{1}{2}(2m+1)+\frac{8}{2m+1}-\frac{1}{2}\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}*8}-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}
\]
所以\(\frac{b}{a}\)最小值为\(2^{\frac{7}{2}}=8\sqrt{2}\)
对数函数绝对值交点问题
原文：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/13285048.html
