20200509

1. 对集合 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合 \(\{1,2,4,6,9\}\) 的“交替和”是 \(9-6+4-2+1=6\) ，\(\{5,6\}\) 的“交替和”是 \(6-5=1\) ，\(\{2\}\) 的“交替和”是 \(2\) 。那么，对于 \(n=7\) ，求所有子集的“交替和”的总和。

   • 解：设 \(\forall A\subseteq\{1,2,\cdots,n\}\) ，\(A\) 的“交替和”为 \(f(A)\) ，集合 \(\{1,2,\cdots,x\}\) 的所有子集的“交替和”的总和为 \(g(x)\),
     易得 \(\forall A\subseteq\{1,2,\cdots,x-1\},f(A\cup\{x\})=x-f(A)\),
     又 \(\because\) 集合 \(\{1,2,\cdots,x-1\}\) 共有 \(2^{x-1}\) 个子集，集合 \(\{1,2,\cdots,x\}\) 的所有子集都为 \(\{1,2,\cdots,x-1\}\) 的子集或子集与 \(\{x\}\) 的并,
     \(\therefore\) 集合 \(\{1,2,\cdots,x-1\}\) 的所有子集与 \({x}\) 的并的“交替和”的总和为
     \[\sum\limits_{i=1}^{2^{x-1}}(x-f(A_i))=2^{x-1}x-g(x-1), \quad(A_i \text{为集合}\ \{1,2,\cdots,x-1\}\ \text{的第}\ i\ \text{个子集}) \]
     \(\therefore\) \(g(x)=g(x-1)+[2^{x-1}x-g(x-1)]=2^{x-1}x\),
     \(\therefore\) 对于 \(n=7\),所有子集的“交替和”的总和为
   \[g(7)=2^{7-1}\times7=448. \]

2. \(n\) 元集合具有多少个不同的不交子集对？

   • 解：设 \(A_i=\{x_1,x_2,\cdots,x_i\}(i=1,2,\cdots,n)\),且 \(A_i\) 的不交子集对组成的集合为 \(B_i\).

     1. 若不交子集对为有序集合对，则

        \[\forall(S,T)\in B_{i-1}(i=1,2,\cdots,n),(S,T),(S\cup\{x_i\},T),(S,T\cup\{x_i\})\in B_i, \]

        且不存在其他集合对属于 \(B_i\),

        \(\therefore\) \(\operatorname{card}(B_i)=3\operatorname{card}(B_{i-1})\),

        又 \(\because\) \(\operatorname{card}(B_0)=1\),

        \(\therefore\) \(\operatorname{card}(B_i)=3^i\),

        \(\therefore\) \(n\) 元集合具有的不交子集对的个数为

        \[\operatorname{card}(B_n)=3^n. \]

     2. 若不交子集对为无序集合对，则

        \[\forall(S,T)\in \complement_{B_{i-1}}(\empty,\empty)(i=1,2,\cdots,n),(\empty,\{x_i\}),(S,T),(S\cup\{x_i\},T),(S,T\cup\{x_i\})\in B_i, \]

        且不存在其他集合对属于 \(B_i\),

        \(\therefore\) \(\operatorname{card}(B_i)-1=3[\operatorname{card}(B_{i-1})-1]+1\Leftrightarrow \operatorname{card}(B_i)=3\operatorname{card}(B_{i-1})-1\),

        又 \(\because\) \(\operatorname{card}(B_0)=1\),

        \(\therefore\) \(\operatorname{card}(B_i)=\sum\limits_{j=0}^{i-1}3^j+1=\frac{3^{i-1}-1}2+1=\frac{3^{i-1}+1}2\),

        \(\therefore\) \(n\) 元集合具有的不交子集对的个数为

        \[\operatorname{card}(B_n)=\frac{3^{i-1}+1}2. \]

3. 通信工程常用 \(n\) 元数组 \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\) 表示信息，其中 \(a_i=0\) 或 \(1,i,n\in \mathbf N\) 。设 \(u=(a_1,a_2,\cdots,a_n),v=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\) ，\(d(u,v)\) 表示 \(u\) 和 \(v\) 中相对应的元素不同的个数。

   (1) \(u=(0,0,0,0,0)\) ，问存在多少个 \(5\) 元数组 \(v\) 使得 \(d(u,v)=1\);

   (2) \(u=(1,1,1,1,1)\) ，问存在多少个 \(5\) 元数组 \(v\) 使得 \(d(u,v)=3\);

   (3) 令 \(w=(\underbrace{0,0,\cdots,0}_{n\text{个}0}),u=(a_1,a_2,\cdots,a_n),v=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\) ，求证：\(d(u,w)+d(v,w)\ge d(u,v)\).

4. 已知 \(x_i>0(i=1,2,\cdots,n),\prod\limits_{i=0}^n x_i=1\) ，求证：\(\prod\limits_{i=1}^n(\sqrt 2+x_i)\ge(\sqrt 2+1)^n\).

5. 已知实系数二次函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) ，\(f(x)=g(x)\) 和 \(3f(x)+g(x)=0\) 有两重根，\(f(x)=0\) 有两相异实根，求证：\(g(x)=0\) 没有实根.

我太弱了！

20200509

原文：https://www.cnblogs.com/createsj/p/p20200509.html