使用线性代数可以更好理解图相关知识。图由顶点与边组成，以下有向图可以使用关联矩阵表示：
矩阵 A 每行表示一条有向边，每列表示一个顶点信息。该图可以表示一个无源电路系统，通过考察矩阵 A 的四个基本子空间，可以有效理解该电路系统。
矩阵 A 的零空间
通过求解 
，其解 x 位于矩阵的零空间。展开方程得如下关系：
，
。
通过以上关系，可知 
位于矩阵 A 的零空间中，同时以上方程组无法推导出更多的关系，故 
是矩阵 A 零空间的唯一基，也即矩阵 A 的秩为 3。
方程 
可展开为：
，表示个节点直接的电势差。
由于 
位于零空间，其解为 
。
矩阵 A 的列空间
通过以上分析，矩阵 A 的秩为 3，根据 Kirchhoff"s Voltage Law，回路1 与 回路2 上的电势差为0，可建立如下关系：
，该关系表示矩阵 A 列空间，向量 b 包含 5 个变量，但有两个相关等式，满足矩阵 A 的列空间的维数为 3。
以上关系表示有向图上符合条件的电势差必须满足等式 
。
矩阵 A 的左零空间
通过求解 
，其解 y 位于矩阵的左零空间，
表示各条边上的电流，
，展开方程组得：
，其中，每一个等式表示经过结点的电流为零，故矩阵的左零空间描述了 Kirchhoff"s Current Law。
通过求解以上方程组，可以得到矩阵 A 的左零空间，但可以根据矩阵 A 的列空间推导出矩阵 A 的左零空间，具体如下：
1）左零空间 垂直于 列空间；
2）列空间的维数为 3，矩阵列数为 5，则左零空间的维数为 5 - 3 = 2；
3）矩阵的列空间满足 
；
4）关系 3）可改写为 
，由于 
位于列空间，
则 
与 
位于矩阵的左零空间，并构成左零空间的一组基。
矩阵 A 的行空间
由于矩阵的行空间与矩阵的零空间正交，且已知矩阵 A 的零空间为 
，则矩阵 A 的行空间的维数为 3，并满足关系
。
以上关系可以使用矩阵表达式简明表达：
1）各节点电势差为 
；
2）根据电势差可求得电流 
，C 为常数；
3）流入与流出各个节点电流和为零 
；
4）整理可得 
；
5）当外接电流源时，可表示为 
；
通过各个子空间的维度关系，可以推导图的一个重要的公式：欧拉公式，具体如下：
#loops = #edges - (columns - 1)
#loops = #edges - (#nodes - 1)
#edges - #nodes + #loops = 1
参考资料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang
原文：https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/12738237.html