1.向量——数学定义

• 向量：数学家——数字列表，程序员——数组

• 向量记法

  • 向量的维度就是向量包含的 “数” 的数目，标量可以被认为是一维向量
  • 数学中常使用整数下标表示某个向量的分量，如 \(V_1\) 表示向量 \(V\) 的第一个元素。这里只讨论 2D、3D、4D 向量，不涉及 n 维向量，所以采用 x，y 代表 2D 向量的分量；x，y，z 代表 3D 向量的分量；x，y，z，w 代表 4D 向量的分量

2.向量——几何定义

• 从几何意义上说，向量是有大小和方向的有向线段（并不包括起始位置）

• 位置与位移

  • 向量没有位置，只有大小和方向，例如，“向前走三步”，“以50英里每小时的速度向北行驶”
  • 因为向量能描述事物间的位移和相对差异，所以它能用来描述相对位置
  • 因为向量是没有位置的，所以能在图中的任何地方表示，只要方向和长度的表示正确即可。可以利用向量这个优点，将向量平移到图中更有用的点

• 用一系列数（数组）表示向量

  • 向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移。例如，2D 向量 [x,y] 列出的是沿 x 坐标方向和 y 坐标方向的位移

    

• 用一系列位移表示向量

  • 为了理解向量所代表的位移，可以将向量分解成与轴平行的分量，把这些分量的位移组合起来，就得到了向量作为整体所代表的位移。例如，3D 向量 [1,-3,4] 表示的一个单一的位移，可以分解为向右平移一个单元，向下平移3个单元，向前平移4个单元（假设 +x，+y，+z 轴分别向右，向上，向前）
  • 这些步骤的执行顺序无关紧要，不同的顺序对应着向量轴对齐包围盒上的不同路径
  

3.向量与点

• 使用 “点” 和 “向量” 的墓地完全不同，“点” 描述位置，而 “向量” 描述位移

  • 下图坐标展示一个点的位置，右图展示一个向量，可以看到点和向量之间有某种联系
  

• 相对位置

  • 上面说到，向量能够描述相对位置，而相对位置：某个物体的位置，通过描述它与已知点之间的相对关系来指明。那么在描述一个点的位置时，总是要描述它和其他一些点的关系，任何对于位置的描述只有在一定参考系内才有意义

• 点和向量的关系

  • 如下图所见，点和向量的关系可以描述为：从原点开始，按向量 [x,y] 所代表的位移移动，总是会到达点（x，y）所代表的位置。也可以说，向量 [x,y] 描述了原点到点（x，y）的位移量

    

  • 点和向量在概念是不同的，但在数学上是等价的。思考位置时，想象一个点，思考位移时，想象一个向量和箭头

《3D数学基础：图形与游戏开发》4.第4章 向量

原文：https://www.cnblogs.com/bky-hbq/p/12683666.html