知道反函数可以\(O(n\log n)\)地求原函数的一项。
知道原函数可以\(O(n\log n)\)地求反函数的一项。
考虑带标号有根树的指数型生成函数 \(F(x)\)。
那么我们就得到了 \(F(x)\) 的反函数 \(F^{-1}(x)\)。
运用拉格朗日反演,用反函数算原函数的\(n\)次方项。
所以\(n\)个点的有标号无根树的数量是\(n^{n-2}\)。
在一个\(s\)个点的图中,存在\(s?n\)条边,使图中形成了\(n\)个连通块,第\(i\)个连通块中有\(a_i\)个点。
现在我们需要再连接\(n?1\)条边,使该图变成一棵树。问连边的方案数。
考虑构造Prufer序列,序列中的数字表示连通块编号。
若第\(k\)个连通块出现了\(i\)次,连边方案为\(a_k^i\),序列填空方案的分母为\(\frac{1}{i!}\)。
所以生成函数为
一个简单连通无向图是好的,当且仅当图中的每个极大边双连通分量的大小都在给定的集合\(S\)内。
给出集合\(S\),求有多少个\(n\)个点的好的无向图。两个无向图不同当且仅当存在一条边\((u,v)\)出现在其中一个无向图中,而不出现在另一个无向图中。
\(n\leq 10^5,\sum_{x\in S}x\leq 10^5\)。
对于一张简单连通图,将其所有的边双缩点后会得到一棵树。
容易发现这道题分为两部分:
对于所有\(i \in S\),求出\(b_i\)表示\(i\)个点的带标号无根边双的数量。
把所有的\(b_i\)拼成一棵无根树。
设\(B(x)\)为有根边双的指数型生成函数。
设\(D(x)\)为有根连通图的指数型生成函数。
令\(P(x)=x\exp(D(x))\)。
那么我们可以用多项式\(\ln\)和\(\exp\)在\(O(n \log n)\)的时间内求出所有我们需要的\(b_i\)。
接下来我们要把所有的\(b_i\)组合成一棵树。
考虑假设当前我们有\(m\)个连通块,第\(i\)个大小为\(a_i\),把这\(m\)个连通块拼成一棵树的方案数为\(n^{m?2}\prod a_i\)。
即\(\frac{\prod a_in}{n^2}\),每选一个大小为\(a\)连通块会多出\(a\cdot n\)的贡献。
那么我们令\(c_i = b_ii\cdot n\),\(C(x)\)为\(c\)的生成函数,求出\([x^n]\exp(C(x))\)即可。
总复杂度\(O(n \log n)\)。
设\(B_s(x)\)为好的有根边双的指数型生成函数。
设\(D_s(x)\)为好的有根连通图的指数型生成函数。
\[D_S(x)=B_S(x\exp(D_S(x)))\B_S^{-1}(D_S(x))=x\exp(D_S(x))\B_S^{-1}(x)=D_S^{-1}(x)\exp(x)\D_S^{-1}(x)=\frac{B_S^{-1}(x)}{\exp(x)} \]
问题在于这个\(B_S^{-1}(x)\)怎么求。它只有有限项系数非零,如果能有复杂度与这些项的次数的和相关的算法就好了。
CO int N=1<<18;
int omg[2][N],rev[N];
int fac[N],inv[N],ifac[N];
void NTT(poly&a,int dir){
int lim=a.size(),len=log2(lim);
for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(len-1);
for(int i=0;i<lim;++i)if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i=1;i<lim;i<<=1)
for(int j=0;j<lim;j+=i<<1)for(int k=0;k<i;++k){
int t=mul(omg[dir][N/(i<<1)*k],a[j+i+k]);
a[j+i+k]=add(a[j+k],mod-t),a[j+k]=add(a[j+k],t);
}
if(dir==1){
int ilim=fpow(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
}
}
poly operator~(poly a){
int n=a.size();
poly b={fpow(a[0],mod-2)};
if(n==1) return b;
a.resize(1<<(int)ceil(log2(n)));
for(int lim=2;lim<2*n;lim<<=1){
poly c(a.begin(),a.begin()+lim);
c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(c[i],b[i]),b[i]);
NTT(b,1),b.resize(lim);
}
return b.resize(n),b;
}
poly log(poly a){
int n=a.size();
poly b=~a;
for(int i=0;i<n-1;++i) a[i]=mul(a[i+1],i+1);
a.resize(n-1);
int lim=1<<(int)ceil(log2(2*n-2));
a.resize(lim),NTT(a,0);
b.resize(lim),NTT(b,0);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
NTT(a,1),a.resize(n);
for(int i=n-1;i>=1;--i) a[i]=mul(a[i-1],inv[i]);
return a[0]=0,a;
}
poly exp(poly a){
int n=a.size();
poly b={1};
if(n==1) return b;
a.resize(1<<(int)ceil(log2(n)));
for(int lim=2;lim<2*n;lim<<=1){
b.resize(lim);poly c=log(b);
c[0]=add(1+a[0],mod-c[0]);
for(int i=1;i<lim;++i) c[i]=add(a[i],mod-c[i]);
c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(c[i],b[i]);
NTT(b,1),b.resize(lim);
}
return b.resize(n),b;
}
poly operator*(poly a,poly b){
int n=a.size()+b.size()-1,lim=1<<(int)ceil(log2(n));
a.resize(lim),NTT(a,0);
b.resize(lim),NTT(b,0);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
NTT(a,1),a.resize(n);
return a;
}
int solve(int n){
poly f(n+1);
for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=mul(fpow(2,(int64)i*(i-1)/2%(mod-1)),ifac[i]);
f=log(f);
for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=mul(f[i],i);
poly g=f;
for(int i=0;i<=n;++i) g[i]=mul(g[i],mod-n);
for(int i=0;i<n;++i) f[i]=mul(f[i+1],i+1);
f.resize(n);
int ans=mul((f*exp(g))[n-1],inv[n]);
ans=mul(ans,fac[n-1]);
return ans;
}
int main(){
freopen("koishi.in","r",stdin),freopen("koishi.out","w",stdout);
omg[0][0]=1,omg[0][1]=fpow(3,(mod-1)/N);
omg[1][0]=1,omg[1][1]=fpow(omg[0][1],mod-2);
fac[0]=fac[1]=1;
inv[0]=inv[1]=1;
ifac[0]=ifac[1]=1;
for(int i=2;i<N;++i){
omg[0][i]=mul(omg[0][i-1],omg[0][1]);
omg[1][i]=mul(omg[1][i-1],omg[1][1]);
fac[i]=mul(fac[i-1],i);
inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
}
int n=read<int>();
poly f(n+1);
for(int m=read<int>();m--;){
int x=read<int>();
if(x>n) continue;
f[x]=mul(solve(x),mul(x,n));
}
for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=mul(f[i],ifac[i]);
int ans=mul(exp(f)[n],fac[n]);
ans=mul(ans,mul(inv[n],inv[n]));
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
原文:https://www.cnblogs.com/autoint/p/12669171.html