2020年陕西省高三数学质量检测一解析

前言

典例剖析

例2【2020陕西省质量检测一文科第16题】已知数列${a_n}$的各项均为正数，\(a_1=1\)，\(a_n^2a_{n+1}$\)+a_na_{n+1}^2$$=$$2na_n+$$2^na_{n+1}$，则$a_n$=_；${a_n}$的前$10$项的和$S{10}$=。

分析：由已知$a_n^{2a_{n+1}+a_na_{n+1}2=2na_n+2}na_{n+1}$，

变形得到$a_na_{n+1}\cdot (a_n+a_{n+1})=2^n\cdot (a_n+a_{n+1})$，

由于$a_n+a_{n+1}>0$，两边约分得到，$a_na_{n+1}=2^n$①，

仿照①式，构造得到$a_{n+1}a_{n+2}=2^{n+1}$②，

则由$\cfrac{②}{①}\(相比得到，\)\cfrac{a_{n+2}}{a_}=2$；

又由$a_1=1$，\(a_n^2a_{n+1}$\)+a_na_{n+1}^2$$=$$2na_n+$$2^na_{n+1}$，

令$n=1$，得到$a_1^{2a_{2}\(+a_1a_{2}^2\)=$$2}1a_1+$$2^1a_{2}$，解得$a_2=2$(舍去$a_2=-1$)，

辅助说明，数列的各项的值如下图所示：

故数列${a_n}$的奇数项是以$a_1=1$为首项，$q=2$为公比的等比数列；

数列${a_n}$的偶数项是以$a_2=2$为首项，$2$为公比的等比数列；

[为了便于表达，我们采用先分后合的策略来分析，即先分析奇数项的通项公式，后分析偶数项的通项公式，]

当$n=2k-1$时，则$a_{2k-1}=a_1\cdot 2^{\frac{2k-1-1}{2}}=1\cdot 2^=2^=2^{\frac{(2k-1)-1}{2}}$，¹

当$n=2k$时，则$a_{2k}=a_2\cdot 2^{\frac{2k-2}{2}}=2\cdot 2^=2^=2^{\frac{2k}{2}}$，

故所求的通项公式为$a_n=\left{\begin{2^{\frac{2}}，n为奇数}\{2^{\frac{2}}，n为偶数}\end\right.$

则$S_{10}=(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)+(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10})$

\(=\cfrac{1\cdot(1-2^5)}{1-2}+\cfrac{2\cdot(1-2^5)}{1-2}=93\)；

2020年陕西省高三数学质量检测一解析

原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12632334.html