某天在册子上做到了这么个问题：
我最初想是 \(C^{2}_{4}\times 2^4\div 2\) ，和选项不符，也没多想就过了。
上面那个式子的解释：
然后之后又做了关于 “ \(n\) 对碱基的 \(DNA\) 可能有多少种可能 ” 这样的题，答案竟然给了个 \(4^n\) !
\(DNA\) 的种类其实是和上面的解释一样的：
然而还有另外一种理解，可能对下面的思考更有用：
刚好有几位同学也有此疑问，于是我们开始思考其原因。
首先，有一个理论，由于 \(DNA\) 是有方向的，两端并不一样，一端的磷酸连的是脱氧核糖上的 \(5\) 号碳，所以将其命名为 \(5`\) 端，另一端的羟基连的是 \(3\) 号碳，所以称为 \(3`\) 端。这个理论可能会造成两种可能间的微小的不同。
之后，我们思考了下其多算的原因：
第一种，由于碱基互补：
\[ \begin{vmatrix} A & T\C & G \end{vmatrix} \;\equiv\; \begin{vmatrix} G & C\T & A \end{vmatrix} \]
第二种，简单的对称:
\[
\begin{vmatrix}
A & T\C & G
\end{vmatrix}
\;\equiv\;
\begin{vmatrix}
C & G\A & T
\end{vmatrix}
\]
然后，枚举了 \(n=2\) 的所有情况
\[
\begin{vmatrix}
3 & 5\A & T\A & T\3 & 5
\end{vmatrix}
\equiv
\begin{vmatrix}
3 & 5\T & A\T & A\3 & 5
\end{vmatrix}\(1)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\G & C\G & C\3 & 5
\end{vmatrix}
\equiv
\begin{vmatrix}
3 & 5\\
C & G\C & G\3 & 5
\end{vmatrix}\(2)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\A & G\C & T\3 & 5
\end{vmatrix}
\equiv
\begin{vmatrix}
3 & 5\\
G & C\T & A\3 & 5
\end{vmatrix}\(3)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\C & G\A & T\3 & 5
\end{vmatrix}
\equiv
\begin{vmatrix}
3 & 5\\
T & A\G & C\3 & 5
\end{vmatrix}\(4)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\G & C\A & T\3 & 5
\end{vmatrix}
\equiv
\begin{vmatrix}
3 & 5\\
T & A\C & G\3 & 5
\end{vmatrix}\(5)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\A & T\G & C\3 & 5
\end{vmatrix}
\equiv
\begin{vmatrix}
3 & 5\\
C & G\T & A\3 & 5
\end{vmatrix}\(6)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\G & C\C & G\3 & 5
\end{vmatrix}\(7)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\C & G\G & C\3 & 5
\end{vmatrix}\(8)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\T & A\A & T\3 & 5
\end{vmatrix}\(9)
\\begin{vmatrix}
3 & 5\A & T\T & A\3 & 5
\end{vmatrix}\(10)
\]
可以发现，除了最后四种，都重复了两次，这是由于碱基配对的重复。而最后四种乍一看有重复，但是 \(3`\) 和 \(5`\) 是反的。
那么我们的重点就是如何找到只算一次的项。
可以发现，只要是按碱基配对变换后再倒过来和原来一样的链，都只会计一次。
例如：
\[
\begin{vmatrix}
3 & 5\\color{red}{A} & \color{teal}{T}\\color{red}{T} & \color{teal}{A}\\color{red}{G} & \color{teal}{C}\\color{teal}{C} & \color{red}{G}\\color{teal}{A} & \color{red}{T}\\color{teal}{T} & \color{red}{A}\3 & 5
\end{vmatrix}\\]
而如何一样呢，只需要对半分开，然后计算一半长链的排列，另一半按配对填上就行了。即为 \(4^{n\over2}\) 。而只有偶数长度会有这种情况，奇数是不行的。
最后我们只要在除之前将这部分再加一份，求可以不多除了！
\[
Ans(n)=\begin{cases}
\frac{4^n}{2} & \text{$n=2k+1$}\\frac{1}{2}\times(4^n+4^{\frac{n}{2}}) & n=2k
\end{cases}
\]
这就是结论的式子啦！
经过打表检验正确。
至于 \(4^n\) 的来源，我们可以这么想，一般 \(DNA\) 分子是凭依在蛋白质载体上，所以按具体情况有办法区分两条排列一样的链，所以所谓对称就不存在了，但是若是单独讨论 \(DNA\) 答案即为而上述结论。
感谢两位朋友 \(yyy\) 和 \(zyl\) 的指点。（@opethrax @BeyondLimits
\(\frak by\; thorn\_\)
原文：https://www.cnblogs.com/thornblog/p/12381381.html