关于未知函数 \(u=u(x_1,x_2,...,x_m)(m>2)\)的偏微分方程是指\[F=(x,u,u_{x_1},...,u_{x_m},u_{x_1x_1},..,u_{x_1x_m},...)\]即,F是\(x,u\),以及\(u\)的有限个偏微商的函数.
n阶偏微分方程:\(F\) 中含有 \(u\) 的偏导数的最高阶数为 \(n\)
线性偏微分方程:\(F\) 关于\(u\) 及其偏导数是线性的
\(\qquad\) m 维空间中,二阶线性pde一般形式为:\[\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad(1)\]其中 \(a_{ij}=a_{ji},b_i,c,f\) 都是\((x_1,x_2,...,x_m)\)的函数
主要的三类方程
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f \quad (波动方程、双曲线)\qquad(2)
\]\[
\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f \quad (热传导方程、抛物型)\qquad(3)
\]\[
-\Delta u=f \quad (位势方程、椭圆形)\qquad(4)
\]其中\(\Delta为Laplace\)算子,\(\Delta=\sum\limits _{i=1}^m \frac {\partial^2}{\partial {x_i ^2}},f为(x_1,x_2,...,x_m,t)或者(x_1,x_2,...,x_m)\)的函数,\(a^2\)为常数.
这三类方程都是二阶线性偏微分方程\[\qquad\qquad\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad\]
令 \(A=(a_{ij})_{i,j=1,2,\cdots,m}\), 从而从矩阵A的特征值的性质来考察三类方程:
(1) 对于波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f\),
取 \(m=n+1,t=x_{n+1}\),则
\[A=\begin{bmatrix}
{-a^2}&{}&{}&{}\{}&{\ddots}&{}&{}\{}&{}&{-a^2}&{}\{}&{}&{}&{1}\\end{bmatrix}\]
A的特征值除了有一个为正(或负),其它全为负(或正),A为不定(或负定)。
(2) 对于热传导方程 \(\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f\),
取 \(m=n+1,t=x_{n+1}\),则
\[A=\begin{bmatrix}
{-a^2}&{}&{}&{}\{}&{\ddots}&{}&{}\{}&{}&{-a^2}&{}\{}&{}&{}&{0}\\end{bmatrix}\]
A的特征值除了有一个为0以外,其它全为正(或负),A为非正(或非负)。
(3) 对于位势方程 \(-\Delta u=f\),
取 \(m=n\),则
\[A=\begin{bmatrix}
{-1}&{}&{}\{}&{\ddots}&{}\{}&{}&{-1}\\end{bmatrix}\]A的全部特征值全为正(或负),A为正定(或负定)。
二阶线性偏微分方程\[\qquad\qquad\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad\]
椭圆:\(A(x_0)\)的特征值全为正(或负),称方程为椭圆型。
\(\qquad\)位势方程\(-\Delta u=f\) 为椭圆形方程的标准型。
抛物型:\(A(x_0)\)的特征值除了有一个为 0 以外,其它 \(m-1\) 个全为正(或负),称方程为抛物型。
\(\qquad\) 热传导方程 \(\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f \quad\)为抛物型方程的标准型。
双曲型:\(A(x_0)\)的特征值除了有一个为负(或正),其它 \(m-1\) 个全为正(或负),称方程为双曲型。
\(\qquad\) 波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f\) 为双曲型方程的标准型。
若对于区域 \(\bar{\Omega}\)上的每一点均成立,则称方程在区域 \(\bar{\Omega}\)上是椭圆形的
注:(3.4) 代表方程(1),(3.1)-(3.3)分别代表(2)-(4)
注:
如果定解问题的解存在、唯一且稳定,则称定解问题为适定的。
【解的稳定性】
解是否连续依赖于定解数据
【度量】
通过线性赋范空间的概念,确切的给出解的稳定性的概念。
原文:https://www.cnblogs.com/pde-study/p/12329098.html