数学物理方程<1>偏微分方程的基本概念

时间：2020-02-18 23:17:43 阅读：100 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

1.定义

关于未知函数 \(u=u(x_1,x_2,...,x_m)(m>2)\)的偏微分方程是指\[F=(x,u,u_{x_1},...,u_{x_m},u_{x_1x_1},..,u_{x_1x_m},...)\]即，F是\(x,u\),以及\(u\)的有限个偏微商的函数.
n阶偏微分方程：\(F\) 中含有 \(u\) 的偏导数的最高阶数为 \(n\)
线性偏微分方程：\(F\) 关于\(u\) 及其偏导数是线性的
\(\qquad\) m 维空间中，二阶线性pde一般形式为：\[\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad(1)\]其中 \(a_{ij}=a_{ji},b_i,c,f\) 都是\((x_1,x_2,...,x_m)\)的函数

2.三类主要方程

主要的三类方程
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f \quad (波动方程、双曲线)\qquad(2) \]\[ \frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f \quad (热传导方程、抛物型)\qquad(3) \]\[ -\Delta u=f \quad (位势方程、椭圆形)\qquad(4) \]其中\(\Delta为Laplace\)算子，\(\Delta=\sum\limits _{i=1}^m \frac {\partial^2}{\partial {x_i ^2}},f为(x_1,x_2,...,x_m,t)或者(x_1,x_2,...,x_m)\)的函数，\(a^2\)为常数.
这三类方程都是二阶线性偏微分方程\[\qquad\qquad\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad\]
令 \(A=(a_{ij})_{i,j=1,2,\cdots,m}\)，从而从矩阵A的特征值的性质来考察三类方程：

(1) 对于波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f\),
取 \(m=n+1,t=x_{n+1}\),则
\[A=\begin{bmatrix} {-a^2}&{}&{}&{}\{}&{\ddots}&{}&{}\{}&{}&{-a^2}&{}\{}&{}&{}&{1}\\end{bmatrix}\]
A的特征值除了有一个为正（或负），其它全为负（或正），A为不定（或负定）。

(2) 对于热传导方程 \(\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f\)，
取 \(m=n+1,t=x_{n+1}\),则
\[A=\begin{bmatrix} {-a^2}&{}&{}&{}\{}&{\ddots}&{}&{}\{}&{}&{-a^2}&{}\{}&{}&{}&{0}\\end{bmatrix}\]
A的特征值除了有一个为0以外，其它全为正（或负），A为非正（或非负）。

(3) 对于位势方程 \(-\Delta u=f\)，
取 \(m=n\),则
\[A=\begin{bmatrix} {-1}&{}&{}\{}&{\ddots}&{}\{}&{}&{-1}\\end{bmatrix}\]A的全部特征值全为正（或负），A为正定（或负定）。

二阶方程的分类

二阶线性偏微分方程\[\qquad\qquad\sum _{i,j=1}^m a_{ij}\frac {\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} +\sum _i^m b_i\frac {\partial u}{\partial x_i } +cu=f \qquad\]
椭圆：\(A(x_0)\)的特征值全为正（或负)，称方程为椭圆型。
\(\qquad\)位势方程\(-\Delta u=f\) 为椭圆形方程的标准型。
抛物型：\(A(x_0)\)的特征值除了有一个为 0 以外，其它 \(m-1\) 个全为正（或负)，称方程为抛物型。
\(\qquad\) 热传导方程 \(\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f \quad\)为抛物型方程的标准型。
双曲型：\(A(x_0)\)的特征值除了有一个为负（或正)，其它 \(m-1\) 个全为正（或负)，称方程为双曲型。
\(\qquad\) 波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\Delta u=f\) 为双曲型方程的标准型。