变限积分求导公式证明及其推论

1.变上限积分

• 若函数 \(f (x)\)在$[a, b] \(上连续 , 对任意\) x∈[a, b]$, 定义变上限定积分 ：

\[ Φ(x) = \int_a^xf (t) dt ，x∈[a, b] \]

2.引理

• 若函数 \(f (x)\) 在 $[a, b] $上连续，则变上限定积分 \(Φ(x) = \int_a^xf (t) dt ，x∈[a, b]\) 在$ [a, b] $上可导 , 且 \(Φ' (x) = f (x)\).

证明：

任取\(x∈[a, b]\)，改变量\(\triangle x\)满足\(x+\triangle x\in[a,b]\)，对应的改变量\(\triangle\Phi=\Phi(x+\triangle x)-\Phi(x)\)满足：
\[ \begin{align} \triangle\Phi=&\Phi(x+\triangle x)-\Phi(x)\=&\int_a^{x+\triangle x}f(t)dt-\int_a^{x}f(t)dt\=&\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt \end{align} \]
由积分中值定理：
\[ \begin{align} &\exist\xi\in[x,x+\triangle x]\sub[a,b]\s.t.&\to\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt=f(\xi)\cdot\triangle x\\therefore f(\xi)&=\frac{\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt}{\triangle x} \end{align} \]
因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，所以：
\[ \lim_{\triangle x\to0}f(\xi)=f(x) \]
即:
\[ f(x)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt}{\triangle x}=\frac{d}{dx}(\int_a^{x}f(t)dt) \]

3.重要推论

若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，\(\phi(x),\varphi(x)\)在\([a,b]\)上可微，则
\[ \frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x) \]
证明：

这里只给出积分上限为复合函数的情况下的证明，下限同理。

设\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，设：
\[ \begin{cases} u=\phi(x)\v=\varphi(x) \end{cases}，x\in[a,b] \]
则原式为：
\[ \begin{align} \frac{d}{dx}(\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt)=& \frac{d}{dx}(\int_{a}^{u}f(t)dt)\（由链式求导法则）=&\frac{du}{dx}\cdot\frac{d}{du}(\int_{a}^{u}f(t)dt)\（由引理）=&\frac{du}{dx}\cdot f(u)\=&\frac{d}{dx}\phi(x)\cdot f(u)\=&f(\phi(x))\cdot\phi'(x) \end{align} \]
下限同理可证，于是可以得出：
\[ \frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x) \]

变限积分求导公式证明及其推论

原文：https://www.cnblogs.com/rrrrraulista/p/12321232.html