最近正在自学二次根式 （似乎暴露了年级） 然后看到了一道挺有意思的题目：
化简 \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\) 。
这种根号里有根号的式子叫做复合二次根式。这种式子还能继续化简吗？化简肯定是能继续化简的，况且问题都摆在这里不可能给你个没化简完的式子 （除非出题老师跟你有仇）
但是，根号 \(\sqrt{\quad}\) 下面的东西我们一般都能凑成完全平方，这样就能从根号里出来，达到化简的目的。
那这个呢？这也不是完全平方啊？平方在哪里啊？
毛主席说过自己动手丰衣足食，我们自己来创造平方就好。那么怎么创造呢？
\[ \sqrt{{(5+2\sqrt{6})}^2} \]
这种方法叫做无脑直接平方法，这样就能非常方便地从根号下面提取出来，优点简直太明显了。那这种方法的缺点呢？
这种方法的缺点就是你要敢这么给老师写，我就给你360度无死角转体跪了，因为你是真的勇士。至于为什么，如果你想不通，建议关掉此文章，重修第十六章。
那有正经的方法使用吗？我们把\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)，挥动金手指魔改一下：
\[ \sqrt{2+3+2\sqrt{6}} \]
可能现在你会觉得我是个深井冰，或者是蟹蟹的脑子被煮熟了，非得要这么改。诶，稍安勿躁，我们调整下顺序：
\[ \sqrt{2+2\sqrt{6}+3} \]
看出来啥了吗？你可能还是没看出来啥。但是，重点来了，你可能觉得这里面的2倍很奇怪，那么2倍也预示了什么？
来，含有三项，并且其中某一项有个2倍的是什么东西来着呢？
对，完全平方公式。
那么这个会不会跟完全平方公式有关呢？
首先可以确定的是，要有关也是跟完全平方和公式有关，况且全是+嘛。
完全平方和公式是什么来着？
\[ {(a+b)}^2 = a^2+2ab+b^2 \]
反过来，
\[ a^2+2ab+b^2 = {(a+b)}^2 \]
那么，
\[ 2+2\sqrt{6}+3 \]
可以套吗？
其实不难发现是可以的。当 \(a=\sqrt{2}\) 且 \(b=\sqrt{3}\)时，正好满足完全平方和。
所以，
\[ 5+2\sqrt{6}=2+2\sqrt{6}+3={(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2 \]
套个根号，就变成了原式：
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\]
所以，原式的化简结果为\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)。
刚才做了一道真枪实弹的题，现在我们来看一下，形如\(\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}\)的能不能有一个通用解决方案。
回想下，刚刚对于\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)这样的复合二次根式我们是如何解决的呢？
对，转换为完全平方。
既然现在问题都是一样的，那不妨模拟下刚刚的过程吧。
首先，我们把\(m\)分解成俩数，就令这两个数分别为\(x\),\(y\)吧。那么原式就变为
\[ \sqrt{x\pm2\sqrt{n}+y} \]
其中的
\[ x\pm2\sqrt{n}+y \]
对比完全平方公式中的：
\[ a^2\pm2ab+b^2\]
那么令\(a^2=x\)，\(b^2=y\)，就有\(a=\pm\sqrt{x}\)，\(b=\pm\sqrt{y}\)。如果要完全对应完全平方公式，那就有
\[ 2\sqrt{n}=2ab \]
再依据前面的推导，就不难得出
\[ n=xy \]
再结合前面\(m=x+y\)，我们就不难得出这样一个规律：
注意啦敲黑板了：
对于
\[ \sqrt{m\pm2\sqrt{n}} \]
若有
\[ \left\{\begin{aligned}x + y = m \\xy = n \\\end{aligned}\right. \]
那么就有
\[ \sqrt{m\pm2\sqrt{n}} = |\sqrt{x}\pm\sqrt{y}|\]
但是，一般当\(m^2-4n\)是完全平方数的时候，我们才进行化简，否则无法化简，因为凑不成完全平方。
接下来蟹蟹来点福利，来点小练习⑧～
\[1.\quad \sqrt{12-2\sqrt{11}}\]
\[2.\quad \sqrt{3+\sqrt{8}}\]
\[3.\quad \sqrt{3+\sqrt{5}} \]
\[4.\quad \sqrt{8+4\sqrt{3}}-\sqrt{8-4\sqrt{3}}\]
（后两道题照搬都是洋葱数学QAQ）
做完后点击下方收缩框核对答案⑧～
[collapse status="false" title="答案"]
第一题直接照搬公式就OK.
结果应该为\(\sqrt{11}-1\)
第二题根式中的根式\(\sqrt{8}\)显然不是最简，先化为最简\(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)
这样就不难看出结果为\(1+\sqrt{2}\)
第三题我们发现根式中的根式已是最简，无法开出想要的2倍，这该怎么办呢？
我们可以把原式变为这样：
\[\sqrt{\frac{3*2+2\sqrt{5}}{2}}\]
然后把分母2撇到根号外：
\[\frac{1}{\sqrt{2}}*\sqrt{6+2\sqrt{5}}\]
后面这个就是我们期待已久的最简二次根式的基本模型！还是把它化解开：
\[\frac{1}{\sqrt{2}}*(1+\sqrt{5})\]
化简并进行分母有理化，就能得到最终答案：
\[\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}\]
第四题就要简单一些啦，但也有个小问题：
\(4\sqrt{3}\)怎么能处理成二倍形式呢？其实很简单，向4借个2就行。
借完2后，\(2*2\sqrt{3}\)，然后我们把2弄进根号，变成\(2\sqrt{12}\)
剩下的就没什么难度了，前后分别处理就行。
前半段结果是\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)，后半段是\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)，相加后\(\sqrt{2}\)抵消，结果为\(2\sqrt{6}\).
[/collapse]
原文：https://www.cnblogs.com/crab-in-the-northeast/p/compound-quadratic-radical.html