我们知道，小波分析实际上就是将信号分解为“粗略”的和“精细”的两部分。其中“粗略”部分变化缓慢，获取“粗略”成分可理解为低通滤波；相应的，获取“精细”成分可理解为高通滤波。
为了能将这种分解一级级继续下去，我们需要定义一个子空间序列$V_j$满足如下条件：
（嵌套性）$V_j\subset V_{j+1}$
（稠密性）$\overline{\cup{V_j}}=L^2 (R)$
（分立性）$\cap{V_j}={0}$
（尺度性）$f(x)\in V_j \Longleftrightarrow f(2^{-j}x) \in V_0$
（标准正交基）存在函数$\phi \in V_0$，$\{\phi (x-k); k\in Z\}$是$V_0$的标准正交基
从实用角度看，最有用的一类尺度函数是有限支撑的，但这并不是一个理论上的限制。
满足上述条件的空间序列$\{V_j; j\in Z\}$和相应的函数$\phi$称为依尺度函数$\phi$的多分辨率分析。
定理1. 设$\{V_j, j\in Z\}$是一个依尺度函数$\phi$的多分辨率分析，那么对任一$j \in Z$，函数集
$\{\phi_{jk} (x) = 2^{j/2} \phi(2^j x-k); k \in Z\}$
是$V_j$的一个标准正交基。
证明思路：考虑利用尺度特性证明$\{ V_j \}$中的函数可以写成$\{\phi (2^{-j} x - k); k\in Z\}$的线性组合。然后直接利用标准正交的定义证明$\{ \phi_{jk}; k \in Z \}$是标准正交的。
定理2. 设$\{V_j, j\in Z\}$是一个依尺度函数$\phi$的多分辨率分析，有下列尺度关系成立：
$\phi (x) = \sum\limits_{k\in Z} p_k \phi(2x-k)$，$p_k = 2 \int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) \overline{\phi(2x-k)}dx$
进一步，有$\phi_{j-1,l}=2^{-1/2}\sum\limits_k p_{k-2l} \phi_{jk}$
注意有的教材会将$p_k$规范化，此时公式前面的系数有相应的改变。
解释与证明思路：考虑到空间的嵌套性与前述定理，$\phi(x)$总是可以写成$\phi(2x)$及其移位的线性组合。每个线性项的系数是$\phi(x)$在空间$\{V_1\}$的标准正交基上的投影。
原文：https://www.cnblogs.com/byeyear/p/12304108.html