1. 设 M 为正多面体，它的每个面有 p 个边，每个顶点是 q 个面的交点. 用Euler 定理\(v ? e + f = 2,\)证明：
(a). \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{2}+\frac{1}{e}\)
(b). 由 (a) 证明正多面体只有 5 种.
2. 计算由立方体按下图中箭头粘合边并且对面两两粘合（即上表面和底面粘合，前表面和后表面粘合，左侧面和右侧面粘合）得到的商空间的Euler示性数
1. 设 \(\mathcal{T}\) 是 \(X\) 上的拓扑，A 是 \(X\) 的一个子集，规定：
\(\mathcal{T}^{\prime}=\{A \cup U \quad | U \in \mathcal{T}\} \cup\{\emptyset\}\)
证明：\(\mathcal{T}^{\prime}\)也是\(X\)上的拓扑
2. 设集合\(X = \{a,b,c\}\), 请给出 \(X\)上的所有可能的拓扑.
3. 设\(X\)是?个拓扑空间，则对于任意 \(A,B\subset X\) 有：
(a). \((A \cap B)^{\circ}=A^{\circ} \cap B^{\circ}\)
(b). \(A^{\circ \circ}=A^{\circ}\)
4. 证明：每?个离散拓扑空间都是可度量化的。（ 提示：注意到离散拓扑空间的任意子集都是开集，要证明其可度量化，只需说明存在?个度量，使得空间的任意?个子集都可以表示成?些由该度量定义的开球的并.)
3. 度量空间的每个子集的导集是闭集.
原文：https://www.cnblogs.com/zonghanli/p/12209464.html