计数-Rook

Rook多项式

给定棋盘\(B\)，在\(B\)上放\(k\)个Rook并使任意两个Rook不同行、不同列的方案数记为\(r_k(B)\)，构造Rook多项式\(R(B)=\sum\limits r_i(B)x^i\)。
用\(B_{(i)}\)表示去掉\(i\)所在行和列之后的剩余部分，用\(B_{[i]}\)表示去掉\(i\)之后的剩余部分。
那么显然有\(r_k(B)=r_{k-1}(B_{(i)})+r_k(B_{[i]})\)，即\(R(B)=xR(B_{(i)})+R(B_{[i]})\)。
然后我们有两个很显然的结论：
交换棋盘的任意两行/列不会产生影响。
两个行列相互不交的棋盘相互独立。

分级棋盘

给定一个\(m\in\mathbb {N_+}\)，将\(B\)划分，第\(i\)级包含\([(i-1)m+1,im]\)行。
现在我们要在这个棋盘上放Rook，满足所有Rook在不同级、不同列。
在\(m\)级棋盘\(B\)上放\(k\)个Rook的方案数记为\(r_{m,k}(B)\)。

Rook分解

用来解决在特殊的棋盘上放Rook的问题。

Goldman-Joichi-White定理

给定棋盘\(B=(b_1,\cdots,b_n)\)，那么有\(\sum\limits_{k=0}^nr_k(B)x^{\underline{n-k}}=\prod\limits_{i=1}^n(x+b_i-i+1)\)。

计数-Rook

原文：https://www.cnblogs.com/cjoierShiina-Mashiro/p/12168422.html