照例是不会的东西但是又不想一点印象都留不下于是抄一遍
从前有两张表，
一张是斯特林打的，表上的\(S_1(i,j)\)表示\(i\)个元素形成\(j\)个圆排列的方案数
叫做第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\)
另一张也是斯特林打的，\(S_2(i,j)\)表示\(i\)个元素放进\(j\)个集合的方案数
叫第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)
递推公式
\[\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix} + (n-1)*\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\]
\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+ m*\begin{Bmatrix} n-1\\m\end{Bmatrix}\]
就是讨论最后一个加进的元素放进之前的组合中还是独立成为一个组合的问题
求法
对于第一类，可使用生成函数求出n这一行的S1
\[\prod\limits_{i=0}^{n-1} (x+i)=\sum\limits_{i=0}^n \begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix} x^i\]
对于第二类，枚举空集合的过程容斥求出n这一行的S2
\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum\limits_{i=0}^m (-1)^i C_m^i (m-i)^n\]
一点性质
第一类斯特林:表示阶乘
\[n!=\sum\limits_{i=0}^n \begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\]
可从枚举轮换数表示置换总数量的角度理解
普通幂表示下降幂
\[x^{\underline n}=\sum\limits_{i=0}^n (-1)^{n-i} \begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix} x^i\]
普通幂表示上升幂
\[x^{\overline n}=\sum\limits_{i=0}^n \begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix} x^i\]
第二类斯特林：下降幂表示普通幂
\[m^n=\sum\limits_{i=0}^m \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} m^{\underline i}\]
枚举了非空的集合，而且强制集合有序了。
斯特林反演？
还不会呀T-T
原文：https://www.cnblogs.com/yxsplayxs/p/12027896.html