基本长度：
已知三角形$ABC$三条边的的长度$a，b，c$，求
内接圆半径：
$r=\frac{2*S_{ABC}}{a+b+c}$
外接圆半径：
$R=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
旁切圆半径：
$r_{a}=\frac{S_{ABC}}{b+c-a}，r_{b}=\frac{S_{ABC}}{c+a-b}，r_{c}=\frac{S_{ABC}}{a+b-c}$
九点圆：
高频极难的考点，就是用来出高联压轴和 AIME 15题的那个 circular 东西
在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，通常称这个圆为九点圆（nine-point circle）
性质：
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；
2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切；
4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。
5. 九点圆心$(V)$，重心$(G)$，垂心$(H)$，外心$(O)$四点共线，且$HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV$。
费马点：
求一点，使它至一三角形三顶点的距离和最小
在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（Torricelli‘s point，即费马点和正等角中心），而三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆
证明就是旋转$+$最小值。很 easy
巨佬 ZSQ 的调和点列过于强劲，以后再说
神犇 ZCX 的密克点赶紧封印
原文：https://www.cnblogs.com/hazel-wu/p/11726898.html