高中数学中涉及大小比较的数学素材和知识点，大小比较是高中数学中比较常见的一种题型，在不等式、函数、定积分，以及构造函数中，都会见到其影子，现对其进行整理，以便于学习。
作差法或作商法，常用变形：平方做差法、取对数做差法等
分析：由于\(a\ge 0\)，\(P > 0\)，\(Q > 0\)，
则有\(Q^2-P^2=2a+7+2\sqrt{a^2+7a+12}-(2a+7+2\sqrt{a^2+7a+10})\)
\(=2(\sqrt{a^2+7a+12}- \sqrt{a^2+7a+10}) > 0\)，所以\(Q^2 > P^2\)，则\(Q > P\)。
法1：作商法，\(\cfrac{16^{18}}{18^{16}}=(\cfrac{16}{18})^{16}\cdot 16^2=(\cfrac{8}{9})^{16}\cdot 2^8\)
\(=(\cfrac{64}{81})^{8}\cdot 2^8=(\cfrac{128}{81})^{8}>1\)，故\(16^{18}>18^{16}\)；
法2：取对数作差法，\(lg16^{18}-lg18^{16}=18lg16-16lg18\)
\(=72lg2-16(lg2+2lg3)=56lg2-32lg3>0\)，故\(16^{18}>18^{16}\)；
涉及函数有二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，此时大多只涉及一类函数，
分析：设幂函数解析式为\(y=x^{\alpha}\)，由 幂函数的图像经过点\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{\sqrt{2}}{2})\)，
则\((\cfrac{1}{2})^{\alpha}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(2^{-\alpha}=2^{-\frac{1}{2}}\)，故\(\alpha=\cfrac{1}{2}\)，故幂函数为\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，
则其在定义域\([0，+\infty)\)上单调递增。又由于\(0 < a < b < 1\)，则可知\(\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{b}>1\)，
即\(0 < a < b < 1 <\cfrac{1}{b} < \cfrac{1}{a}\)，故有\(f(a) < f(b) < f(1) < f(\cfrac{1}{b}) < f(\cfrac{1}{a})\)。
分析：\(y_1=4^{0.7}=2^{1.4}\)，\(y_2=8^{0.45}=2^{1.35}\)，\(y_3=(\cfrac{1}{2})^{-1.5}=2^{1.5}\)，
又\(y=2^x\)在\(R\)上单调递增，故\(y_2 < y_1 < y_3\)；
分析：比较\(a、c\)，利用幂函数\(y=x^{\cfrac{2}{5}}\)，在\((0，+\infty)\)上单调递增，故\(a > c\)；
比较\(b、c\)，利用指数函数\(y=(\cfrac{2}{5})^x\)，在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减，故\(c > b\)；
故有\(a > c > b\)。
涉及函数有二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，
分析：\(a=log_{\frac{1}{2}}2 < 0\)，\(0< b=ln\frac{\pi}{2} < 1\)，\(c=2^{\frac{1}{\pi}} >1\)，
故有\(a < b < c\)。
分析：借助赋值法，令\(x=\cfrac{1}{2}\)，则可知\(b=(\cfrac{1}{2})^{lnx}>1\)，\(a=lnx<0\)，\(c=e^{lnx}=\cfrac{1}{2}\)，故大小关系为\(b>c>a\)；
法1：赋值法，令\(a=\cfrac{1}{4}\)，\(b=\cfrac{1}{2}\)，计算比较得到， \(log_ba > b^a > a^b >log_{\frac{1}{a}} b\)，故选\(D\).
法2：不等式性质法，由于\(0<a<b<1\)，则\(1>b^a>a^a>a^b>0\)，\(log_ba>log_bb=1\)，
又由于\(0<a<1\)，则\(\cfrac{1}{a}>1\)，则\(log_{\frac{1}{a}} b<0\)，
综上， \(log_ba > b^a > a^b >log_{\frac{1}{a}} b\)，故选\(D\).
涉及函数有二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，此时只是单纯的一类函数，中间参量常常取\(0\)，\(1\)等这些简单而特殊的值。
法1：由于\(log_34=log_3(3\times \cfrac{4}{3})=1+log_3 \cfrac{4}{3}\)，\(log_45=log_4(4\times \cfrac{5}{4})=1+log_4\cfrac{5}{4}\)，
因为底数都大于1，所以都是增函数，\(\cfrac{4}{3}>\cfrac{5}{4}\)，
则\(log_3\cfrac{4}{3}>log_3\cfrac{5}{4}\)，\(log_3\cfrac{5}{4}>log_4\cfrac{5}{4}\)，
所以\(log_3\cfrac{4}{3}>log_4\cfrac{5}{4}\)，即\(log_34>log_45\)；
法2：取\(\cfrac{5}{4}\)为中间量，
\(log_34-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg4}{lg3}-\cfrac{5}{4}\)
\(=\cfrac{4lg4-5lg3}{4lg3}=\cfrac{lg\cfrac{4^4}{3^5}}{4lg3}>0\)，
即\(log_34>\cfrac{5}{4}\)
\(log_45-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg5}{lg4}-\cfrac{5}{4}\)
\(=\cfrac{4lg5-5lg4}{4lg4}=\cfrac{lg\cfrac{5^4}{4^5}}{4lg4}<0\)，
即\(log_45<\cfrac{5}{4}\)，
即\(log_34>log_45\)；
可能会涉及图形的面积、体积、或长度、角度等，
法1：从数的角度，计算定积分的大小，从而比较大小，过程略。\(S_2 < S_1 < S_3\)。
法2：从形的角度，利用定积分的几何意义，借助图形的面积直观比较大小。\(S_2 < S_1 < S_3\)。
涉及构造函数，大难点，抽象函数的具体函数，
分析：当\(x> 0\)时，\(f'(x)+\cfrac{f(x)}{x}>0\)，即\(xf'(x)+f(x)>0\)，
故构造函数\(g(x)=x\cdot f(x)\)，由于\(y=f(x)\)与\(y=x\)都是奇函数，则函数\(g(x)\)为偶函数，
当\(x >0\)时，\(g'(x)=f(x)+xf'(x) >0\)，即函数\(g(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，
由偶函数可知，函数\(g(x)\)在\((-\infty，0]\)上单调递减。
而\(a=\cfrac{1}{3}f(\cfrac{1}{3})=g(\cfrac{1}{3})\)，
\(b=-3f(-3)=g(-3)=g(3)\)，
\(c=(ln\cfrac{1}{3})f(ln\cfrac{1}{3})=g(ln\cfrac{1}{3})=g(-ln3)=g(ln3)\)，
又\(\cfrac{1}{3} < ln3 < 3\)，故\(g(\cfrac{1}{3}) < g(ln3) < g(3)\)，即\(a < c < b\)，故选B.
已知\(f(x)\)是定义在\((0，+\infty)\)上的函数，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，
记\(a=\cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)，\(b=\cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)，\(c=\cfrac{f(log_25)}{log_25}\)，则（）
分析：注意到\(a，b，c\)的结构，由题目猜想：要构造的函数是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，
那么是否正确，以下做以验证。
令\(0< x_1< x_2\)，则由单调性定义的等价形式可得，
\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)
由题目，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2} >0\)，
则可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2} >0\)，即函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是单调递增的，
故题目需要我们比较\(g(3^{0.2})\)，\(g(0.3^2)\)，\(g(log_25)\)这三个的大小关系，
只需要比较自变量的大小就可以了；
由于\(1=3^0 < 3^{0.2} < 3^{0.5}=\sqrt{3} <2\)，\(0 < 0.3^2=0.09 <1\)，\(log_25 > log_24=2\)，
故\(g(0.3^2) < g(3^{0.2}) < g(log_25)\)，即\(b < a < c\)。故选\(B\).
下述结论中的结论2和结论3，在函数与导数的高阶考察中常常会作为变形的基础，故需要认真理解记忆。
【证法1】：三角函数线法，如图所示为单位圆，则\(sin\theta=MP\)，\(tan\theta=AT\)，\(\overset{\frown}{AP}=\theta\cdot 1=\theta\)
由图可知，\(S_{\Delta OAP} < S_{扇形 OAP} < S_{\Delta OAT}\)
即\(\cfrac{1}{2}\cdot |OA|\cdot MP < \cfrac{1}{2}\cdot \theta \cdot |OA| < \cfrac{1}{2}\cdot |OA|\cdot AT\)
则有\(MP < \theta < AT\)，即\(sin\theta < \theta < tan\theta\)。
故\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)时，\(sin\theta < \theta < tan\theta\)。
【证法2】：构造函数法，如令\(g(x)=sinx-x\)，\(x\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，
则\(g'(x)=cosx-1\leq 0\)恒成立，故\(g(x)\)在\(x\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)上单调递减，
故\(g(x) < g(0)=0\)，即\(sinx < x\)，同理可证\(x < tanx\)，
故\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)时，\(sin\theta < \theta < tan\theta\)。
证明思路：【法1】数形结合法，令\(f(x)=e^x\)，\(g(x)=x+1\)，在同一个坐标系中作出这两个函数的图像，
由图像可知，当\(x\neq 0\)时，都满足关系\(e^x>x+1\)。
补充：至于函数\(f(x)=e^x\)和函数\(g(x)=x+1\)为什么会相切与点\((0，1)\)，
我们可以用导数方法来解答。
【法2】作差构造函数法，令\(h(x)=e^x-x-1\)，则\(h'(x)=e^x-1\) ，
当\(x<0\)时，\(h'(x)<0\)；当\(x>0\)时，\(h'(x)>0\)；
即函数\(h(x)\)在\((-\infty，0)\)上单调递减，在\((0，+\infty)\)上单调递增，
故函数\(h(x)_{min}=h(0)=0\)，故\(h(x)\ge 0\)，当且仅当\(x=0\)时取到等号，
故\(x\neq 0\)时，总有\(h(x)>0\)，即\(e^x>x+1\)。
证明思路：【法1】数形结合法，令\(f(x)=lnx\)，\(g(x)=x-1\)，
在同一个坐标系中作出这两个函数的图像，
由图像可知，当\(x> 0\)时，都满足关系\(lnx\leq x-1\)。
【法2】：作差构造函数法，令\(h(x)=lnx-x+1(x>0)\)，则\(h'(x)=\cfrac{1}{x}-1\)，
当\(0<x<1\)时，\(h'(x)>0\)；当\(x>1\)时，\(h'(x)<0\)；
即函数\(h(x)\)在\((0，1)\)上单调递增，在\((1，+\infty)\)上单调递减，
故函数\(h(x)_{max}=h(1)=0\)，故\(h(x)\leq 0\)，当且仅当\(x=1\)时取到等号，
故\(x> 0\)时，总有\(h(x)\leq 0\)，即\(lnx\leq >x-1\)。
【法3】利用反函数法，此法主要基于\(e^x\ge x+1\)的结论，
由于函数\(y=e^x\)以及函数\(y=x+1\)关于直线\(y=x\)的对称函数
分别是\(y=lnx\)和函数\(y=x-1\)，故得到\(lnx\leq x-1\)。
【法4】：利用代数变换，由\(e^x\ge x+1\)，两边取自然对数得到\(lne^x\ge ln(x+1)\)，
即\(x\ge ln(x+1)\)，再用\(x-1\)替换\(x\)，得到\(x-1\ge lnx\)，即\(lnx\leq x-1\)。
分析：令\(2^x=3^y=5^z=k\)，则\(x=log_2k=\cfrac{lgk}{lg2}\)，\(y=log_3k=\cfrac{lgk}{lg3}\)，\(z=log_5k=\cfrac{lgk}{lg5}\)，
故\(2x=\cfrac{2lgk}{lg2}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{2}lg2}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt{2}}\)，
\(3y=\cfrac{3lgk}{lg3}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{3}lg3}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，
\(5z=\cfrac{5lgk}{lg5}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{5}lg5}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[5]{5}}\)，接下来，
法1：(单调性法)转化为只需要比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，\(\sqrt[5]{5}\)三者的大小即可。
先比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，给两个式子同时6次方，
得到\((\sqrt[2]{2})^6=2^3=8\)，\((\sqrt[3]{3})^6=3^2=9\)，
故\(\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}\)，则\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}>\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，
即得到\(2x>3y\)
再比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[5]{5}\)，给两个式子同时10次方，
得到\((\sqrt[2]{2})^{10}=2^5=32\)，\((\sqrt[5]{5})^{10}=5^2=25\)，
故\(\sqrt[2]{2}>\sqrt[5]{5}\)，则\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}<\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，
即得到\(5z>2x\)，综上得到\(3y<2x<5z\)
法2：(作差法)
\(2x-3y=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{3lgt}{lg3}=\cfrac{lgt(2lg3-3lg3)}{lg2lg3}=\cfrac{lgt(lg9-lg8)}{lg2lg3}>0\)，
故\(2x>3y\);
\(2x-5z=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{5lgt}{lg5}=\cfrac{lgt(2lg5-5lg2)}{lg2lg5}=\cfrac{lgt(lg25-lg32)}{lg2lg5}<0\)
故\(2x<5z\);
综上有\(3y<2x<5z\)。
法3：(作商法)
\(\cfrac{2x}{3y}=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{lg3}{lg2}=\cfrac{lg9}{lg8}=log_89>1\)，故\(2x>3y\)；
\(\cfrac{5z}{2x}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{lg2}{lg5}=\cfrac{lg2^5}{lg5^2}=log_{25}32>1\)，
故\(5z>2x\)；故\(3y<2x<5z\)。素材链接
原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9977440.html