1 : \(\sum_{i=0}^k{\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}}=\binom{n+m}{k}\)
从意义上理解即可，也就是从数量为\(n\)和\(m\)的两个堆中一共选择\(k\)个物品
这两个堆在实际意义上也可以不存在。
2 : \(\sum_{i=1}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}}=\binom{2n}{n-1}\)
证明 :
设\(k=n-1\)则由1得 :
\(\sum_{i=0}^{n-1}{\binom{n}{i}\binom{n}{n-1-i}}=\sum_{i=0}^{n-1}{\binom{n}{i}\binom{n}{i+1}}=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}\)
\(\sum_{i=0}^{n-1}{\binom{n}{i}\binom{n}{n-1-i}}=\binom{2n}{n-1}\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}=\binom{2n}{n-1}\)
证毕。
或者是
\(\binom{2n}{n-1}=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{n-1-i}}=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{i+1}}=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}\)
其他的一些 :
\(\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}^2}=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{n-i}}=\binom{2n}{n}\)
\(\sum_{i=0}^m{\binom{n}{i}\binom{m}{i}}=\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{n+m}{m}\)
。
例题：
\(\href{https://loj.ac/problem/2023}{[AHOI/HNOI2017]抛硬币}\)
其他的一些二项式系数推导的积累：
\[
\sum_{k=1}^nk^2\binom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2}
\]
过程：\(k^2\)转下降幂后暴力展开组合数即可
\[
\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}^2=n\binom{2n-1}{n-1}
\]
过程：
\[
k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}=n\binom{n-1}{n-k}
\]
范德蒙德卷积即可。
原文：https://www.cnblogs.com/cjc030205/p/11638087.html