B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为从 1 到 n 的正整数。
每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。
但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。
B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。
这个策略需要的操作次数很多，B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。
B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。
这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。这题不管期望都有80分，数据真的水的可以……
考场上想了一个多小时才想出来，真的是太菜了
如果是最优的操作，需要从最大的开始转换，处理完它和它的所有约数后，再寻找最大的
（证明：操作一个数不会影响到比它更大的数；而’如果优先操作小的，将不会影响到大数，最后操作大数的时候反而会影响到小数。）
因此这种方法是最优策略，对于任何一种情况，假设最优策略需要的次数是min
根据题意：最多如果只需要k步就能满足条件的话，B君可以看出来
因此如果最优策略已经<k的话，那么就直接操作即可
当一个键被错误地按下，考虑如何弥补这个错误？
如果一个键被错误地按下之后，只有重新按回这个键才能够弥补这个错误
（证明：假设可以不按这个数而弥补回这个错误，如果只按比它更小的数，显然不可能弥补回来；因此至少需要按一个比其大的数字才行，但如果这样，比它大的数字又会被错误地操作，因此不动这个数，是一定不可能弥补回来的）
于是知道，对于一种状态，使其全部灭灯的操作方法是确定的（步数也是一定的），按下期望之外的任何数字都将造成错误
而这个错误又会消耗步骤来弥补
f[i]表示现在需要i次操作才能全部灭灯
那么f[i-1]表示需要i-1次操作才能全部灭灯
f[i]->f[i-1] 显然表示的是成功机选对了一个期望的操作
那么f[i-1]能且只能由f[i]转移过来
倒推求期望
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 100003
#define N 100005
using namespace std;
ll n,k;
ll cnt,ans;
ll a[N],inv[N],f[N];
vector<ll> v[N];
template<class T>inline void read(T &res)
{
char c;T flag=1;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0';res*=flag;
}
inline void init()
{
inv[1]=1;
for(register int i=2;i<=n;++i)
inv[i]=((mod-mod/i)*inv[mod%i])%mod;
}
int main()
{
read(n);read(k);
for(register int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
init();
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=i;j<=n;j+=i)
v[j].push_back(i);//枚举处理约数个数
for(register int i=n;i>=1;--i)
{
if(a[i])
{
++cnt;
for(ll j=0;j<v[i].size();++j)
a[v[i][j]]^=1;
}
}
if(cnt<=k) ans=cnt;
else
{
f[n]=1;
for(register int i=n-1;i>=1;--i)
f[i]=(n+(n-i)*f[i+1])*inv[i]%mod;
for(register int i=cnt;i>k;--i)
ans=(ans+f[i])%mod;
ans=(ans+k)%mod;
}
for(register int i=1;i<=n;++i)
ans=(ans*i)%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}原文：https://www.cnblogs.com/tqr06/p/11552170.html