8.30 树上最大流

题意

给定一颗带权树，求一个排列\(P\)，最大化
\[ \sum_{i=1}^{n-1}maxflow(P_i, P_{i+1}) \]
其中\(maxflow(x,y)\)为点\(x\)到点\(y\)之间的最大流

解法

结论题

这个最大值就是所有边权的和，即所有情况中最优的一种

证明这个解是所有解中最优的：

• 考虑最小的边连接的两个子树
• 最优的\(P\)一定只经过改变一次（如果经过多次，最小的边就会替换掉一个比它更大的边，使答案更劣）
• 递归的考虑两边的子树，发现只有当每条边都作为某条瓶颈边时，答案最优

考虑如何构造一个排列\(P\)，使得上式能够满足

我们能发现点\(x\)到点\(y\)的最大流就是\(x\)到\(y\)路径上的边权最小值

那么首先我们找到树上最小的边\(E(l,r)\)

设被\(E\)分开的两个连通块的大小分别为\(S_l,S_r\)

那么我们在\(P[S_l]\)处填\(l\)，\(P[S_l+1]\)处填\(r\)

再对两边的子树进行分治，重复执行上述操作，最后就能构造出合法的一个\(P\)了

代码

没什么特别需要注意的，就不放了

8.30 树上最大流

原文：https://www.cnblogs.com/VeniVidiVici/p/11436779.html