#（四维DP/优化三维DP+求最短严格不相同子路线）洛谷P1006 传纸条（普及+/提高）

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个mm行nn列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用00表示），可以用一个0-1000−100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这22条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的22条路径。

输入文件，第一行有22个用空格隔开的整数mm和nn，表示班里有mm行nn列。

接下来的mm行是一个m \times nm×n的矩阵，矩阵中第ii行jj列的整数表示坐在第ii行jj列的学生的好心程度。每行的nn个整数之间用空格隔开。

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回22条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

【限制】

30%的数据满足：1 \le m,n \le 101≤m,n≤10

100%的数据满足：1 \le m,n \le 501≤m,n≤50

NOIP 2008提高组第三题

分析：

因为要考虑走两趟，那么可以考虑当前两张纸条的坐标作为状态！

法一：

四维dp，设f[i][j][k][l]为从小渊传到小轩的纸条到达(i,j)，从小轩传给小渊的纸条到达(k,l)的路径上取得的最大的好心程度和。

完全可以换一个思路想，即求从给定的起点出发走到指定位置的两条最短严格不相交路线。

那么特别“显然”，对于点都有两种转移的可能：（i,j）（k，l）分别从左边、上边转移来，有四种可能

所以：f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k-1][l],f[i][j-1][k][l-1])+a[i][j]+a[k][l];

注意：要保证所枚举的点没有重复！

应当注意循环的次序！

i,j,k都可以从1到边界，但是为了保证枚举的过程中不出现重合的点，l的边界应当为j！

然后，还要注意最后的两张纸条一定是到达了(m,n)的左边和上边（因为一定不出现重合！）所以答案是f[m][n-1][m-1][n]

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int m,n;
int dp[60][60][60][60];
int g[60][60];
int main()
{
cin>>m>>n;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
cin>>g[i][j];


for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int k=1;k<=m;k++)
for(int l=j+1;l<=n;l++)
dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i][j-1][k-1][l]),max(dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k][l-1]))+g[i][j]+g[k][l];
cout<<dp[m][n-1][m-1][n];
return 0;
}

法二：降维打击2333~

其实完全可以三维dp的啦~

考虑走的步数，我们只需要知道走的步数，和两个纸条当前的横坐标就可以啦！

定义f[p][i][j]表示当前走了p步，第一个人走到第i行，第二个人走到第j行的最大价值。

显然两个人的坐标都可以计算出来，第一个人是(i,p-i+1)，第二个人是(j,p-j+1)。

转移就考虑两个人的上一步是怎样走的。

f[p][i][j] = max(max(f[p - 1][i][j], f[p - 1][i - 1][j]), max(f[p - 1][i][j - 1], f[p - 1][i - 1][j - 1])) + a[i][p - i + 1] + a[j][p - j + 1]。

由于两条路径经过同一个点的价值只能算一次，所以如果当前i==j（相当于两个人的位置重合了），我们只能算一遍该点的价值。

所以整个转移就是这样了：

f[p][i][j] = max(max(f[p - 1][i][j], f[p - 1][i - 1][j]), max(f[p - 1][i][j - 1], f[p - 1][i - 1][j - 1]));

f[p][i][j] += i == j ? a[i][p - i + 1] : a[i][p - i + 1] + a[j][p - j + 1];

是不是很简单。。

几个注意事项：

1.数组别开小，f[][][]的第一维要两倍的n。

2.for()的时候要注意因为这里的i,j都是行，所以都要枚举到n，不要习惯性地写成n,m。

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

 using namespace std;

int f[110][60][60];

int a[60][60];

int main()

{

int n, m;

scanf("%d%d", &n, &m);

for (int i = 1; i <= n; i ++)

for (int j = 1; j <= m; j ++)

scanf("%d", &a[i][j]);

f[1][1][1] = a[1][1];

for (int p = 2; p <= n + m - 1; p ++)

for (int i = 1; i <= n && i <= p; i ++)

for (int j = 1; j <= n && j <= p; j ++)

{ if (i == 1 && j == 1) continue;

f[p][i][j] = max(max(f[p - 1][i][j], f[p - 1][i - 1][j]), max(f[p - 1][i][j - 1], f[p - 1][i - 1][j - 1]));

f[p][i][j] += i == j ? a[i][p - i + 1] : a[i][p - i + 1] + a[j][p - j + 1]; }

printf("%d\n", f[n + m - 1][n][n]); return 0; }