久未提笔，今又信笔，写一写希尔伯特空间。
首先弄清楚几个逻辑；
1.首先内积满足三条件：正定性；共轭对称性；对第一变元线性，即<ax+by,z>=a<x,z>+b<y,z>.同时，内积空间的元素为向量，例如 $x \in R^3$.
2.内积空间中,由内积定义的映射 IIxII=<x,x>^(1/2) 成为E的范数；
3.
范数的集合? 赋范空间 +线性结构?线性赋范空间 ；
距离的集合? 度量空间 +线性结构?线性度量空间；
线性赋范空间+内积运算? 内积空间；
内积空间+完备性? 希尔伯特空间 ；
完备性体现在，内积是E*E-->K的二元连续函数，对 x_n -->x, y_n-->y, n-->无穷，那么 , <x_n,y_n>--><x,y>。
因此如何证明一个内积空间是希尔伯特空间呢，就是证明其完备性，也就是 holder不等式 <x,y> <=IIxII*IIyII <+无穷 即可。
一些范例：
1.n维欧式空间和酉空间；
2.L^2空间，即平方可积函数类L^2 [a,b]，定义内积，
$$
\left< x,y \right> =\int_a^b{x\left( t \right) \overline{y\left( t \right) }dt}
$$
原文：https://www.cnblogs.com/jumanggege/p/11346006.html