特征分解

特征值和特征向量

设$A$是n阶方阵，如果存在数$\lambda$和n维非零列向量$x$使：

\[Ax = \lambda x\]

则称数$\lambda$为矩阵$A$的特征值，非零列向量$x$称为矩阵$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量。（类似的我们也可以定义左特征向量：${x^T}A = \lambda {x^T}$）。

特征分解定义

每个实对称矩阵都可以分解成实特征向量和实特征值。

特征分解意义

一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，描述了矩阵的一个变化方向。而一个高维矩阵可能会有多个变化方向， 我们通过特征值分解得到的前N个特征向量（特征值按从小到大排列），那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。

参考资料

https://www.cnblogs.com/jian-gao/p/10781649.html

特征分解

原文：https://www.cnblogs.com/xumaomao/p/11389105.html