二分图匹配总结

二分图匹配总结

定义

二分图是指对于一个图G=（V,E），若能将其点集分为两个互不相交的两个子集X、Y，
使得X∩Y=?，且对于G的边集V，若其所有边的顶点全部一侧属于X，
一侧属于Y，则称图G为一个二分图。

清晰明了

匹配

对于一个二分图G的子图M,若M的边集E的的任意两条边都不连接同一个顶点，
则称M为G的一个匹配。

最大匹配就是最大化M

方法

1.匈牙利算法

时间复杂度\(O(nm)\)

先前面的和前面的匹配

如果后来的和前面发生冲突，先试着让后来的优先，然后递归匹配前面的，如果发现前面的没有匹配的了，就还原。

/*
@Date    : 2019-07-20 09:35:35
@Author  : Adscn (adscn@qq.com)
@Link    : https://www.cnblogs.com/LLCSBlog
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IL inline
#define RG register
#define gi getint()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
IL int getint()
{
    RG int xi=0;
    RG char ch=gc;
    bool f=0;
    while(ch<'0'|ch>'9')ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
    while(ch>='0'&ch<='9')xi=(xi<<1)+(xi<<3)+ch-48,ch=gc;
    return f?-xi:xi;
}
template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)
{
    if(k<0)k=-k,putchar('-');
    if(k>=10)pi(k/10,0);
    putchar(k%10+'0');
    if(ch)putchar(ch);
}
const int MAXN=1007;
const int MAXM=1e6+7;
struct edge{
    int v,nxt;
}e[MAXM];
int head[MAXN],cnt;
inline void add(int u,int v)
{
    e[++cnt]=(edge){v,head[u]};
    head[u]=cnt;
}
int n,m;
int match[MAXN],dfn[MAXN];
inline bool dfs(int p,int tim)
{
    for(int i=head[p],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v)
    {
        if(dfn[v]==tim)continue;
        dfn[v]=tim;//被这一轮匹配了
        if(match[v]==0||dfs(match[v],tim))
        {
            match[v]=p;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int main(void)
{
    n=gi,m=gi;
    int e=gi;
    for(int i=1;i<=e;++i)
    {
        int u=gi,v=gi;
        if(u>n||v>m)continue;
        add(u,v);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)ans+=dfs(i,i);
    pi(ans);
    return 0;
}

2.最大流dinic

我们建立源点s,汇点t

将s到左点集连流量1的边，

左点集与右点集连流量1的边，

右点集连流量1的边到t

最大流量就是最大匹配。

正确性显然

时间复杂度\(O(\text{跑得贼快})\)

/*
@Date    : 2019-07-20 10:15:01
@Author  : Adscn (adscn@qq.com)
@Link    : https://www.cnblogs.com/LLCSBlog
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IL inline
#define RG register
#define gi getint()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
IL int getint()
{
    RG int xi=0;
    RG char ch=gc;
    bool f=0;
    while(ch<'0'|ch>'9')ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
    while(ch>='0'&ch<='9')xi=(xi<<1)+(xi<<3)+ch-48,ch=gc;
    return f?-xi:xi;
}
template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)
{
    if(k<0)k=-k,putchar('-');
    if(k>=10)pi(k/10,0);
    putchar(k%10+'0');
    if(ch)putchar(ch);
}
const int MAXN=1007*2;
const int MAXM=1e6+7+MAXN;
const int inf=2147483647;
struct edge{
    int v,nxt,flow;
}e[MAXM<<1];
int head[MAXN],cnt;
int cur[MAXN];
inline void add(int u,int v,int f)
{
    e[cnt]=(edge){v,head[u],f};
    head[u]=cnt++;
}
inline void link(int u,int v,int f){add(u,v,f),add(v,u,0);}
int n,m;
int dep[MAXN];
int maxflow=0;
inline bool bfs(int s,int t)
{
    static int Q[MAXN],l,r;
    Q[l=r=0]=s;
    memset(dep,-1,sizeof dep);
    dep[s]=0;
    while(l<=r)
    {
        int p=Q[l++];
        for(int i=head[p];~i;i=e[i].nxt)
        {
            int v=e[i].v;
            if(dep[v]==-1&&e[i].flow)
            {
                dep[v]=dep[p]+1;
                Q[++r]=v;
            }
        }
    }
    return ~dep[t];
}
inline int dfs(int p,int t,int restflow)
{
    if(p==t||restflow==0)return restflow;
    int sumflow=0;
    for(int &i=cur[p],flow;~i;i=e[i].nxt)
    {
        int v=e[i].v;
        if(e[i].flow&&dep[v]==dep[p]+1&&(flow=dfs(v,t,min(restflow,e[i].flow))))
        {
            restflow-=flow,sumflow+=flow;
            e[i].flow-=flow,e[i^1].flow+=flow;
            if(restflow==0)break;
        }
    }
    return sumflow;
}
inline void dinic(int s,int t)
{
    while(bfs(s,t))
        memcpy(cur,head,sizeof head),maxflow+=dfs(s,t,inf);
}
int main(void)
{
    n=gi,m=gi;
    memset(head,-1,sizeof head);
    int e=gi;
    for(int i=1;i<=e;++i)
    {
        int u=gi,v=gi;
        if(u>n||v>m)continue;
        link(u,v+n,1);
    }
    int s=0,t=n+m+1;
    for(int i=1;i<=n;++i)link(s,i,1);
    for(int i=1;i<=m;++i)link(i+n,t,1);
    dinic(s,t);
    pi(maxflow);
    return 0;
}

二分图匹配总结

原文：https://www.cnblogs.com/LLCSBlog/p/11217070.html