[TJOI2018]最长上升子序列

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动态维护LIS？

观察题目：在第 i 轮操作时，将数字 i 插入
插入的数字是当前最大的
如果答案与上次不同，新的LIS必以 i 结尾
以 i 结尾的LIS无法再伸长（因为比 i 小的都插入完了）

也就是说，加入 \(i+1\) 到 \(n\) 的数，不会对以 \(i\) 结尾的上升子序列有影响，所以我们不用去动态地维护LIS的大小，只需要最后把总的序列做一次LIS就好了。然后对于第 \(i\) 个输出，只需要求得分别以 \(1\) 到 \(i\) 结尾的子序列的最大值即可。

求解LIS

面对1e5的数据，O(\(n^2\))的大暴力显然是不行的，我们考虑数据结构优化。

树状数组优化流程：
1.对原数列以值为关键字排序，记录原来的位置（存入一个结构体）
2.排完序后，数列的值显然是1~n依次递增，我们不妨枚举1~n的值。
对于每一个\(i\)，找到它原来的位置记为p，则用树状数组找到在位置p之前的最大值，作为更新的来源。
3.算完后，把\(i\)这个值加到树状数组\(p\)的这个位置，重复执行2

代码：

inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void add(int x,int val){while(x<=n){c[x]=max(c[x],val);x+=lowbit(x);}}
inline int query(int x){int ret=0;while(x){ret=max(ret,c[x]);x-=lowbit(x);}return ret;}

for(int i=1;i<=n;i++) a[i].num=i;//原位置
sort(a+1,a+1+n,Cmp);//排序
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    int maxx=query(a[i].num);//查找位置为a[i].num前的最大值
    add(a[i].num,++maxx);//把当前的数加入树状数组
    ans=max(ans,maxx);//取最大值
    printf("%d\n",ans);//输出当前最大值
}

模拟插入操作

完整代码

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rint register int
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 100007

template<class T>
inline void read(T &x){
    T flag=1;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')flag=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
    x*=flag;
}

struct Splay{
    int val,fa,s[2],size;
}t[N];
struct Node{
    int num,val;
}a[N];

int c[N];
int root,T,n=0,cnt=0,m,num=0,f[N];

inline int max(int x,int y){return x>y? x:y;}
inline bool Cmp(const Node a,const Node b){return a.val<b.val;}
inline void update(int p){t[p].size=t[t[p].s[0]].size+t[t[p].s[1]].size+1;}
inline int wich(int x){return t[t[x].fa].s[0]==x? 0:1;}
inline void connect(int x,int y,int f){t[x].fa=y;t[y].s[f]=x;}
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void add(int x,int val){while(x<=n){c[x]=max(c[x],val);x+=lowbit(x);}}
inline int query(int x){int ret=0;while(x){ret=max(ret,c[x]);x-=lowbit(x);}return ret;}

inline void rotate(int x){
    int y=t[x].fa,rt=t[y].fa;
    int ys=wich(x),rts=wich(y);
    connect(t[x].s[ys^1],y,ys);
    connect(y,x,ys^1);connect(x,rt,rts);
    update(y);update(x);
}

inline void rota(int p){
    if(wich(p)==wich(t[p].fa)){rotate(t[p].fa);rotate(p);}
    else{rotate(p);rotate(p);}
}

inline void splay(int p,int to){
    if(!p) return;
    if(p==to) return;
    if(to==root) root=p;
    while(1){
        if(t[p].fa==to){rotate(p);return;}
        if(t[t[p].fa].fa==to){rota(p);return;}
        rota(p);
    }
}

inline int find(int x){
    rint p=root;
    while(p){
        if(x<=t[t[p].s[0]].size) p=t[p].s[0];
        else if(x==t[t[p].s[0]].size+1) return p;
        else{x-=t[t[p].s[0]].size+1;p=t[p].s[1];}
    }
    return 0;
}

inline void insert(int val,int k){
    int l=find(k+1),r=find(k+2);
    splay(l,root);
    splay(r,t[root].s[1]);
    t[++cnt]=(Splay){val,t[root].s[1],{0,0},1};
    t[t[root].s[1]].s[0]=cnt;
    update(t[root].s[1]);update(root);
    splay(cnt,root);
}

inline void dfs(int p){
    if(t[p].s[0]) dfs(t[p].s[0]);
    if(t[p].val!=INF&&t[p].val!=-INF)
        a[++num].val=t[p].val;
    if(t[p].s[1]) dfs(t[p].s[1]);
}

int main(){
    t[++cnt]=(Splay){-INF,0,{0,2},2};
    t[++cnt]=(Splay){INF,1,{0,0},1};
    read(n);rint x;
    root=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        read(x),insert(i,x);
    dfs(root);
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].num=i;
    sort(a+1,a+1+n,Cmp);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int maxx=query(a[i].num);
        add(a[i].num,++maxx);
        ans=max(ans,maxx);
        printf("%d\n",ans);
    }
}

[TJOI2018]最长上升子序列

原文：https://www.cnblogs.com/wwlwQWQ/p/11166322.html