前言：《拓扑学》第二版看到第三章紧致空间，提到了有限补拓扑的紧致性，起了疑惑，如果单点集都是闭集，是否是Hausdorff空间，书上只证明了必要条件，由此可想，其逆大概不成立，于是乎自己证明了，基于此，记录下来
问题\(1\): 拓扑空间\(X\)中，每个单点集都是闭集，则\(X\)不一定是\(Hausdorff\)空间，且对于每个单点存在一个有限邻域，则其为\(Hausdorff\)空间
证：
通过举反例证明前半部分，而\(R\)上的有限补拓扑即是一个，因为其满足每个单点集为闭集，但任意二个点\(x\)和\(y\)的邻域必相交于无穷远处，不然就是有限邻域，则不符合有限补的定义
而对于第二部分，若对于单\(x\)的一个有限邻域\(U\)，其必为闭集(闭集的有限并为闭集)，假设\(X\)不为Hausdorff空间，则\(U\)的闭包必包含一个不在其中的点，这与\(U\)为闭集矛盾
深入想象为什么会出现这种情况，本质是什么，对于任一\(x \in U\)邻域，邻域\(U\)是无限闭集的并为什么不一定是闭集，于是乎就回归到了拓扑的定义上：
开集的有限交是开集，闭集的有限并是闭集
上述的逆命题不一定成立，考虑\(R\)标准拓扑
\(\bigcap U_{n} = (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = {0}\)为闭集
\(\bigcup U_{n} = (-\infty, -\frac{1}{n}] \cup [\frac{1}{n}, +\infty) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)为开集
因此有时往往疏忽了问题的本质，例如为什么\(f^{-1}\)有良好的交与差性质，而\(f\)却没有，本质是在函数的定义上：值域里不同的两点不能由定义域里的同一点映射得到
原文：https://www.cnblogs.com/sangdesu/p/11127902.html