程序员的数学

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1、常用数学公式： 等差/等比数列通项和求和、指数、对数、排列组合等

2、逻辑且/或/非/异或，和余数

3、数学归纳法

4、排列组合

5、递归

6、指数爆炸

一、常用数学公式

1.0  实数：有理数和无理数的总称，常用字母R表示实数集；

　　有理数是整数和分数的集合，有理数的小数部分是有限或者无限循环的数；小数部分为无限不循环的数为无理数；

　　自然数：全体非负整数组成的集合，常用字母N来表示

　　质数：又称素数，大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数；因数：又叫约数，整数a除以整数b(b≠0)的商正好是整数而没有余数，则b是a的因数；

　　幂：乘方的结果。a = n^m, 指m个n相乘，把n^m乘方的结果a叫做幂，也叫n的m次幂；

1.1  等差数列

　　定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这个数列就叫做等差数列，这个常数也叫等差数列的公差，公差常用字母d表示。

　　通项公式：      ,        a1为等差数列首项，公差为d, 为 第n项 

　　求和公式：  ，   Sn为数列前n项之和

　　等差中项：等差数列中，若有n+m=2*r,  则任意两项 的关系为：

　　其他：跟等差数列知识相关的一个有趣故事是：“高斯求和”

1.2 等比数列

　　定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。这个数列就叫做等比数列，这个常数也叫等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

　　通项公式： （n∈N*）,当q>0时，可把看做是自变量n的函数，点(n, )是曲线 上的一群孤立的点。

　　求和公式：   或   （q≠1）。

　　等比中项：  ； 即等比数列中，若q+p = 2r, 则有， 为等比中项。

 　　其他：跟等比数列知识相关的一个有趣故事是：“棋盘上的麦粒”

1.3 指数函数

　　定义：一般地，函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数, 函数的定义域是R，自变量x就叫做指数，常数a叫底数。

　　　　　　对于一切指数函数来讲，值域为(0， +∞)；指数函数的前系数为1；

　　指数型函数：y = (k≠1), 格式像指数函数，但不是指数函数；

　　幂函数：一般地，y=x^α（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

　　　　　　例如函数y=x⁰ 、y=x²、y=x^-1（注：y=x^-1=1/x、y=x⁰时x≠0）等都是幂函数。

 　  指数函数常用公式：

　　1.3.1：    ；         ；  （同底相乘，指数相加；同底相除，指数相减）   

　　1.3.2：      （指数的指数，指数相乘）

　　1.3.3：

1.4 对数函数

　　定义：一般地，对数函数以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

　　　　　比如a^x = n（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底n的对数，记作x=log_an，读作以a为底n的对数，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。

　　　　　一般地，函数y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

 　　常用公式：

　　1.4.1 ：；    ；   负数和零无对数；

　　1.4.2 ：  *  = 1 ；

　　1.4.3 ：  ；

　　1.4.4：

　　1.4.5：

　　1.4.6：  

　　1.4.7：

几张图表如下：

1.5 排列组合

　　1.5.1 阶乘：阶乘是指一个运算符号，一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。

　　　　　　　自然数n的阶乘写作n!，亦即n!=1×2×3×...×n。阶乘亦可以递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。

　　1.5.2 排列定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；

　　　　　　　　从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。

　　1.5.3 排列计算公式： 

　　1.5.4 组合定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；

　　　　　　　　　从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

　　1.5.5 组合计算公式： 

　　1.5.6 排列和组合区别：排列是讲究排序的，而组合不考虑元素排序，一般来说，从n中不同元素取出m个元素的排列，要比组合数量多。

　　　　　　　对于组合公式的理解，相对排列而言会绕一点，这里试图解释一下组合公式：

　　　　　　从n个不同元素中取出m个元素的所有组合个数，可以理解成先从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列个数为Anm    （即A(n, m) ），

　　　　　　然后因为m个元素的排序方式共有m!（即m*(m-1)*(m-2)*...*1, m的阶乘）种，而组合不考虑元素排序，相当于数量A(n, m)中重复了m!次，

　　　　　　所以排序数量A(n, m)  除以 排序方式数量m! ,  则是我们需要的没有重复的组合数量了，即C(n, m) = A(n, m) / m!

二、逻辑且/或/非/异或，和余数

2.1 计算机为什么采用二进制计数法

　　2.1.1 在10进制计数法中，位数少，但是数字的种类多。（对于人类来说，比较易用）

　　2.1.2 在二进制计数法中，数字的种类少哦，但是位数多。（对于计算机来说，这种比较易用）

2.2 指数的法则：对于指数 a^n, n每减1，新的值就变成原来的1/a，即a^(n-1) 为 a^n的1/a

2.3 零的作用：用来表示占位；也用来统一标准，简化规则；

2.4 逻辑

　　命题：能够判断对错的陈述句叫做命题。命题正确时，则该命题为“真”（true）；反之，命题不正确时，称该命题为“假”（false）。

　　在建立规则时，需要确认规则有没有“遗漏”和“重复”；

　　没有“遗漏”，即完整性，明确此规则在什么情况下都能适用；没有“重复”，即具备排他性，明确此规则不存在矛盾之处。

　　逻辑从根本上说是对完整性和排他性的组合表达。

三、数学归纳法

四、排列组合

五、递归

六、指数爆炸

参考资料：百度百科，和《程序员的数学.（日）结城浩》

程序员的数学

原文：https://www.cnblogs.com/tandaxia/p/10904978.html