$bzoj1059-ZJOI2007$矩阵游戏 二分图匹配

• 题面描述
  • 小\(Q\)是一个非常聪明的孩子，除了国际象棋，他还很喜欢玩一个电脑益智游戏——矩阵游戏。矩阵游戏在一个\(N*N\)黑白方阵进行（如同国际象棋一般，只是颜色是随意的）。每次可以对该矩阵进行两种操作：行交换操作：选择矩阵的任意两行，交换这两行（即交换对应格子的颜色）列交换操作：选择矩阵的任意行列，交换这两列（即交换对应格子的颜色）游戏的目标，即通过若干次操作，使得方阵的主对角线(左上角到右下角的连线)上的格子均为黑色。对于某些关卡，小\(Q\)百思不得其解，以致他开始怀疑这些关卡是不是根本就是无解的！！于是小\(Q\)决定写一个程序来判断这些关卡是否有解。
• 输入格式
  • 第一行包含一个整数\(T\)，表示数据的组数。
  • 接下来包含\(T\)组数据，每组数据第一行为一个整数\(N\)，表示方阵的大小；接下来\(N\)行为一个\(N*N\)的\(01\)矩阵（\(0\)表示白色，\(1\)表示黑色）。
• 输出格式
  • 输出文件应包含T行。对于每一组数据，如果该关卡有解，输出一行Yes；否则输出一行No。
• 题解
  • 仔细读题发现，该题对终目的状态的要求很松，只需要将矩阵主对角线上元素要求为黑色即可。
  • 通过手玩数据，我们不难发现一行的元素永远在该行，一列的元素永远在该列，不随操作而改变，改变的只有行，列内相对顺序。
  • 因此，行与行间相互独立，列与列间相互独立。而将行与列连接在一起的便是矩阵中的格子，一个黑格\((x,y)\)相当于把行\(x\)与列\(y\)相匹配，而题目要求的则是\((1,1)(2,2)\cdots(n,n)\)
  • 也就是说，对于初始给定的矩阵来说，我们能够构建一张匹配图，最后题目要求\(E'=\{\)（第1行\(\to\)第1列）（第2行\(\to\)第2列）......（第n行\(\to\)第n列）\(\}\)为操作后图中的子图即可。
  • 再来看操作，如列交换（\(i\)与\(j\)交换）对单行\(x\)的影响是\(x\)与\(i\)和\(x\)与\(j\)的匹配关系互换，相余不变。也就是说，对交于给定状态我们只需要找到一组完美匹配（即对于每一行都有一个独一无二的列与其匹配），然后就成以就这一组完美匹配通过交换操作变为\(E'=\{\)（第1行\(\to\)第1列）......（第n行\(\to\)第n列）\(\}\)
  • 因此我们只需要对原图找最大匹配，看最大匹配是否是完美匹配即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=205;
const int MAXM=80005;
const int inf=1e9;
int a[MAXN][MAXN];
int edge,head[MAXN*2],nex[MAXM],tail[MAXM],r[MAXM];
int d[MAXN*2],cur[MAXN*2];
int n,t;
int S,T;
queue<int> q;
void add(int u,int v,int R){
    edge++,nex[edge]=head[u],head[u]=edge,tail[edge]=v,r[edge]=R;
}
void ins(int u,int v,int R){
    add(u,v,R); add(v,u,0);
}
bool bfs(){
    for (int i=1;i<=T;i++) d[i]=inf;
    d[S]=0;
    q.push(S);
    while (!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        for (int e=head[u];e;e=nex[e]){
            int v=tail[e];
            if (d[v]==inf&&r[e]>0){
                d[v]=d[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return d[T]<inf;
}
int dfs(int u,int b){
    if (u==T) return b;
    int ans=0;
    for (int e=head[u];e;e=nex[e]){
        int v=tail[e];
        if (d[v]==d[u]+1&&r[e]>0){
            int res=dfs(v,min(r[e],b));
            r[e]-=res; r[e^1]+=res;
            b-=res; ans+=res;
        }
        if (!b) break;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        memset(head,0,sizeof(head));
        edge=1;
        scanf("%d",&n);
        S=2*n+1,T=2*n+2;
        for (int i=1;i<=n;i++){
            for (int j=1;j<=n;j++){
                scanf("%d",&a[i][j]);
                if (a[i][j]) ins(i,j+n,1);
            }
        }
        for (int i=1;i<=n;i++) ins(S,i,1),ins(i+n,T,1);
        int flow=0;
        while (bfs()){
            for (int i=1;i<=T;i++) cur[i]=head[i];
            flow+=dfs(S,inf);
        }
        if (flow==n) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

$bzoj1059-ZJOI2007$矩阵游戏 二分图匹配

原文：https://www.cnblogs.com/shjrd-dlb/p/10803837.html