Query on a tree IV(SPOJ - QTREE4)

题目描述：

You are given a tree (an acyclic undirected connected graph) with N nodes, and nodes numbered 1,2,3...,N. Each edge has an integer value assigned to it(note that the value can be negative). Each node has a color, white or black. We define dist(a, b) as the sum of the value of the edges on the path from node a to node b.

All the nodes are white initially.

We will ask you to perfrom some instructions of the following form:

• C a : change the color of node a.(from black to white or from white to black)
• A : ask for the maximum dist(a, b), both of node a and node b must be white(a can be equal to b). Obviously, as long as there is a white node, the result will alway be non negative.

给出一棵n个结点的树，每条边有边权。一开始，每个点都是白色的。
再给出q个询问，每次询问有两种操作：

1.C a 表示改变a结点的颜色，黑变白，白变黑。
2.A 表示询问树上某两个白点（可以是同一个点）间最远距离
注意原题卡常，可以尝试换用clang编译器提交。

思路：

QTree 5 的进化版。。（为甚是这个顺序我也不清楚。。）

主要操作和QTree4的操作差不多，详细内容可见那题题解：Query on a tree V

上一题的思想是在每个点开一个可删堆\(Q1\)，然后利用点分树优化查询与更新，这次其实也差不多只不过它并没有给你确定其中一个点，那么接下来的操作就比较骚有趣了

为了避免多次枚举，我们在每个点上多开一个队列\(Q2\)，存的内容是距离每个儿子上最远的点到自身的距离，听起来有些绕，好好理解一下。。然后每次更新时，只要注意当前的儿子的最远距离（记录在原先的那个队列中）——也就是\(Q1\)的\(Top\)被更新掉时，就要对应的去更新它父亲的\(Q2\)，注意要算上儿子到父亲的距离，为了方便，我的\(Q1\)中存的值就是算上它到父亲的距离的。那么若要找经过该点的最大距离时，就只用在它所对应的\(Q2\)中找出最大的两个值的和即可（注意如果只有一个值的时候，要返回0，因为题意说明可以是同一个点也算）。

所以代码中最关键的两点就是对于这三种队列的更新了！仔细理解。

最后就是把每个点的最大值存在最后一个队列\(A\)中，同理每次一个点的\(Q2\)中的最大两值和改变时，都要在\(A\)中进行对应的更新(删除旧值，加入新值)，那么最终查询答案只要返回\(A\)的\(Top\)即可，至于没有白点的判断，只要维护一个\(tot\)，计数白点数量，不必多说！

还有一个需要说的就是点分树的存法，由于这题时限，不能用常规\(log\)求\(LCA\)来算距离，可以全部预处理出来存一个正向表（或\(vector\)）中。存每个儿子的每个父亲以及距离，这些均可以在一个\(dfs\)中求出

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define FOR(i,l,r) for(register int i=l,END=r;i<=END;i++)
#define DOR(i,r,l) for(register int i=r,END=l;i>=END;i--)
#define loop(i,n) for(register int i=0,END=n;i<END;i++)
#define mms(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define sf scanf
#define pf printf
using namespace std;
const int N=1e5+5,INF=1e9;
int n;
struct Graph{
    int tot,to[N*20],nxt[N*20],len[N*20],head[N];
    void add(int x,int y,int z){tot++;to[tot]=y;nxt[tot]=head[x];len[tot]=z;head[x]=tot;}
    void clear(){mms(head,-1);tot=0;}
    #define EOR(A,i,x) for(register int i=A.head[x];i!=-1;i=A.nxt[i])
}G,G2;//原树和点分树的路径 

struct Heap{//可删堆 
    priority_queue<int>Q,del;
    void Push(int x){if(x!=-INF)Q.push(x);}
    void Del(int x){if(x!=-INF)del.push(x);}
    void upd(){while(!del.empty()&&Q.top()==del.top())Q.pop(),del.pop();}
    int Size(){return Q.size()-del.size();}
    int Top(){upd();if(Q.empty())return -INF;return Q.top();}
    int Sum2(){
        upd();int siz=Size();
        if(!siz)return -INF;
        if(siz==1)return 0;
        int mx1=Top();Q.pop();
        int mx2=Top();Q.push(mx1);
        return max(mx1+mx2,0);
    }
}A,B[N],C[N];//C便是题解中的Q1,B便是题解中的Q2

bool col[N];//记录颜色 

struct DAC_Tree{//点分树 
    bool vis[N];
    int sz[N],mx[N],fa[N];
    int t_sz,center;
    void get_dis(int x,int f,int dis,int center){//预处理上面的G2 
        G2.add(x,center,dis);
        EOR(G,i,x){
            int v=G.to[i];
            if(v==f||vis[v])continue;
            get_dis(v,x,dis+G.len[i],center);
        }
    }
    void get_center(int x,int f){//寻找重心 
        sz[x]=1,mx[x]=0;
        EOR(G,i,x){
            int v=G.to[i];
            if(v==f||vis[v])continue;
            get_center(v,x);
            sz[x]+=sz[v];
            mx[x]=max(mx[x],sz[v]);
        }
        mx[x]=max(mx[x],t_sz-sz[x]);
        if(!center||mx[center]>mx[x])center=x;
    }
    void DAC(int x){//点分治 
        vis[x]=1;
        G2.add(x,x,0);
        EOR(G,i,x){
            int v=G.to[i];
            if(vis[v])continue;
            get_dis(v,x,G.len[i],x);
            center=0,t_sz=sz[v];
            get_center(v,x);
            fa[center]=x;
            DAC(center);
        }
    }
    
    //以下两个函数为本题关键，注意三个队列的更新 
    void insert(int x){//把一个点变白 
        int sum=B[x].Sum2();
        B[x].Push(0);
        int nsum=B[x].Sum2();
        if(nsum!=sum){
            A.Del(sum);
            A.Push(nsum);
        }
        EOR(G2,i,x){
            if(G2.nxt[i]==-1)break;
            int v=G2.to[i],f=G2.to[G2.nxt[i]],dis=G2.len[G2.nxt[i]],tp=C[v].Top();
            C[v].Push(dis);
            int ntp=C[v].Top();
            if(ntp!=tp){
                sum=B[f].Sum2();
                B[f].Del(tp);
                B[f].Push(dis);
                nsum=B[f].Sum2();
                if(nsum!=sum){
                    A.Del(sum);
                    A.Push(nsum);
                }
            }
        }
    }
    void erase(int x){//把一个点变黑 
        int sum=B[x].Sum2();
        B[x].Del(0);
        int nsum=B[x].Sum2();
        if(nsum!=sum){
            A.Del(sum);
            A.Push(nsum);
        }
        EOR(G2,i,x){
            if(G2.nxt[i]==-1)break;
            int v=G2.to[i],dis=G2.len[G2.nxt[i]],f=G2.to[G2.nxt[i]],tp=C[v].Top();
            C[v].Del(dis);
            int ntp=C[v].Top();
            if(ntp!=tp){
                sum=B[f].Sum2();
                if(tp!=-INF)B[f].Del(tp);
                B[f].Push(C[v].Top());
                nsum=B[f].Sum2();
                if(nsum!=sum){
                    A.Del(sum);
                    A.Push(nsum);
                }
            }           
        }
    }
    //预处理 
    void init(){
        center=0,t_sz=n;
        get_center(1,0);
        DAC(center);
        FOR(i,1,n)insert(i);
    }
}Tr;

int tot;
int main(){
    G.clear(),G2.clear();
    sf("%d",&n);
    loop(i,n-1){
        int x,y,z;
        sf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        G.add(x,y,z),G.add(y,x,z);
    }
    Tr.init();
    int q;tot=n;
    sf("%d",&q);
    while(q--){
        char op[5];
        sf("%s",op);
        if(op[0]=='A'){
            if(!tot)pf("They have disappeared.\n");//无白点 
            else pf("%d\n",A.Top());
        }
        else { 
            int a;sf("%d",&a); 
            col[a]^=1;
            if(col[a]){Tr.erase(a);tot--;}
            else {Tr.insert(a);tot++;}
        }
    }
    return 0;
}

Query on a tree IV(SPOJ - QTREE4)

原文：https://www.cnblogs.com/Heinz/p/10479201.html