GDOI2018 滑稽子图 [斯特林数，树形DP]

传送门并没有

思路

见到那么小的\(k\)次方，又一次想到斯特林数。
\[ ans=\sum_{T} f(T)^k = \sum_{i=0}^k i!S(k,i)\sum_{T} {f(T)\choose i} \]
很套路地，考虑后面那个式子的组合意义：对于每一个点集的导出子图，选出\(i\)条边的方案数。

很套路地，我们想到树形DP。

设\(dp_{x,s,0/1}\)表示\(x\)子树内的所有非空点集的导出子图里选出\(s\)条边，点集里有/没有\(x\)，的方案数。

每次加上一棵子树，就分三种情况考虑：只有原有的、只有新的、合在一起。其中最后一种要记入答案里。

代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 101010
    #define mod 998244353ll 
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
        if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
        while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
        while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//  inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,m,K;
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1]; 
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t)
{
    edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
    head[f]=ecnt;
    edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
    head[t]=ecnt;
}

ll dp[sz][15][2];
ll f[15][2];
int size[sz];
ll ans[15];
void dfs(int x,int fa)
{
    dp[x][0][0]=0;dp[x][0][1]=1;++ans[0];
    size[x]=1;
    #define v edge[i].t
    go(x) if (v!=fa)
    {
        dfs(v,x);
        rep(i,0,14) rep(j,0,1) f[i][j]=dp[x][i][j];
        rep(j,0,min(K,size[v])) (f[j][0]+=dp[v][j][0]+dp[v][j][1])%=mod;
        rep(j,0,min(size[x],K))
        {
            rep(k,0,min(size[v],K-j))
            {
                ll S=(dp[v][k][0]+dp[v][k][1])%mod;
                ll s1=dp[x][j][0]*S%mod,s2=dp[x][j][1]*(S+(k?dp[v][k-1][1]:0))%mod;
                (f[j+k][0]+=s1)%=mod,
                (f[j+k][1]+=s2)%=mod;
                (ans[j+k]+=s1+s2)%=mod;
            }
        }
        rep(i,0,K) rep(j,0,1) dp[x][i][j]=f[i][j];
        size[x]+=size[v];
    }
    #undef v
}
void solve(){dfs(1,0);}

ll S[15][15];

int main()
{
    file();
    int x,y;
    read(n,m,K);
    rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y);
    solve();
    S[0][0]=1;
    rep(i,1,K)
        rep(j,1,i)
            S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j%mod)%mod;
    ll fac=1,Ans=0;
    rep(i,1,K) fac=fac*i%mod,(Ans+=fac*S[K][i]%mod*ans[i]%mod)%=mod;
    cout<<Ans;
    return 0;
}

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原文：https://www.cnblogs.com/p-b-p-b/p/10445321.html