在一个带权无向图中,它的最小差值生成树为最大边与最小边差值最小的生成树。求一个图的最小差值生成树。
引理1 最小生成树的最大边的边权是所有生成树中最大边边权中的最小值。
证明:任意一棵生成树都可以在最小生成树的基础上,通过不断取一个树外边e,将其替换掉其与生成树所在环中的一条边的方式而得到。我们就看看第一条用来替换的边的情况吧。在不在最小生成树中的边中任取一个边权小于最小生成树最大边m的边e,则e必然与最小生成树的树边形成环。若m不在环中,那么就是替换掉任意一条边,答案也没有影响。如果m在环中,且用e替换掉m可以得到一个最大边权更小的生成树,那么原来的最小生成树就不是最小生成树了。因此原命题成立。
因此,我们可以将边排序,不断将最小边删除并求一遍Kruskal,最终取min即可。
拆边,用LCT。先将最小生成树加入LCT中,然后从小到达枚举每一条树外边,将其和树边所在环中最小边删除然后纳入LCT中,每次在外部更新最大值与最小值的差的最小值即可。
证明目标 若答案生成树的最小边权和最大边权为L‘, R‘,则当我们按照此方法枚举到R‘时,L‘就是当前生成树中的最小边权。
假设在经过R‘之前,中间状态生成树的最小边权为L(L < L‘),最大边权为R。
引理2 边权位于[L, R‘]内的边集中必然存在一条边e,使得e和边权为L的边位于一个环内,且L为最小边权。
证明:假设命题不成立,如果要使答案为L‘,边权L的边必须去除。如果[L, R‘]内没有满足条件的e,则e的边权>R‘,这与R‘的定义矛盾。
引理3 在中间状态下,若边权为L‘的边在生成树内,则边权位于[L, R‘]内的边集中必然不存在一条边e,e和边权为L‘的边在一个环内,且L‘是环中的最小边权。
证明:假设命题不成立,L‘不在生成树内,答案就不可能是[L‘, R‘]。
引理4 在中间状态下,若边权为L‘的边不在生成树内,则在[L, L‘]中必然存在一条边e,使得边权为L‘的边和e在一个环内,且L‘不是环中的最小边。
证明:假设命题不成立,那么在L‘所在环中选其它一条边,边权为L‘‘,则L‘‘, R是一个更优的答案,产生了矛盾。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
using namespace std;
const int MAX_NODE = 50010, MAX_EDGE = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;
int TotNode, TotEdge, Ans;
struct Edge
{
int From, To, Weight;
bool InTree;
bool operator < (const Edge& a) const
{
return Weight < a.Weight;
}
}_edges[MAX_EDGE];
int MaxEdgeP, MinEdgeP;
struct LCT
{
private:
static const int MAX_TREE_NODE = MAX_NODE + MAX_EDGE;
struct Node
{
int Val, Id;
bool Rev;
Node *Father, *LeftSon, *RightSon, *MinValP;
bool IsRoot()
{
return !Father || (Father->LeftSon != this && Father->RightSon != this);
}
bool IsLeftSon()
{
return Father->LeftSon == this;
}
void Refresh()
{
MinValP = this;
if (LeftSon && LeftSon->MinValP->Val < MinValP->Val)
MinValP = LeftSon->MinValP;
if (RightSon && RightSon->MinValP->Val < MinValP->Val)
MinValP = RightSon->MinValP;
}
void Reverse()
{
swap(LeftSon, RightSon);
Rev = !Rev;
}
void PushDown()
{
if (Rev)
{
if (LeftSon)
LeftSon->Reverse();
if (RightSon)
RightSon->Reverse();
Rev = false;
}
}
}_nodes[MAX_TREE_NODE];
struct SplayTree
{
private:
Node *InnerRoot;
void PushDown(Node *cur)
{
if (!cur->IsRoot())
{
PushDown(cur->Father);
}
cur->PushDown();
}
void Rotate(Node *cur)
{
Node *gfa = cur->Father->Father;
Node **gfaSon = cur->Father->IsRoot() ? &InnerRoot : cur->Father->IsLeftSon() ? &gfa->LeftSon : &gfa->RightSon;
Node **faSon = cur->IsLeftSon() ? &cur->Father->LeftSon : &cur->Father->RightSon;
Node **curSon = cur->IsLeftSon() ? &cur->RightSon : &cur->LeftSon;
*faSon = *curSon;
if (*faSon)
(*faSon)->Father = cur->Father;
*curSon = cur->Father;
(*curSon)->Father = cur;
*gfaSon = cur;
(*gfaSon)->Father = gfa;
(*curSon)->Refresh();
cur->Refresh();
}
public:
void Splay(Node *cur)
{
PushDown(cur);
while (!cur->IsRoot())
{
if (!cur->Father->IsRoot())
Rotate(cur->Father->IsLeftSon() == cur->IsLeftSon() ? cur->Father : cur);
Rotate(cur);
}
}
}t;
void Access(Node *cur)
{
Node *prev = NULL;
while (cur)
{
t.Splay(cur);
cur->RightSon = prev;
cur->Refresh();
prev = cur;
cur = cur->Father;
}
}
void MakeRoot(Node *cur)
{
Access(cur);
t.Splay(cur);
cur->Reverse();
}
void MakePath(Node *u, Node *v)
{
MakeRoot(v);
Access(u);
t.Splay(u);
}
void Link(Node *u, Node *v)
{
MakeRoot(v);
v->Father = u;
}
void Cut(Node *u, Node *v)
{
MakePath(u, v);
assert(v->Father == u);
assert(u->LeftSon == v);
u->LeftSon = NULL;
v->Father = NULL;
u->Refresh();
}
Node *FindRoot(Node *cur)
{
while (cur->Father)
cur = cur->Father;
while (cur->LeftSon)
cur = cur->LeftSon;
return cur;
}
Node *GetMinNode(Node *u, Node *v)
{
if (FindRoot(u) != FindRoot(v))
return NULL;
MakePath(u, v);
return u->MinValP;
}
public:
LCT()
{
for (int i = 1; i <= 100; i++)
_nodes[i].Id = i;
}
void SetNode(int v, int val)
{
_nodes[v].Val = val;
}
void Link(int u, int v)
{
Link(_nodes + u, _nodes + v);
}
void Cut(int u, int v)
{
Cut(_nodes + u, _nodes + v);
}
int GetMinId(int u, int v)
{
Node *ans = GetMinNode(_nodes + u, _nodes + v);
if (ans == NULL)
return -1;
else
return ans - _nodes;
}
}g;
void InitBuild()
{
sort(_edges + 1, _edges + TotEdge + 1);
for (int i = 1; i <= TotEdge; i++)
g.SetNode(TotNode + i, _edges[i].Weight);
for (int i = 1; i <= TotNode; i++)
g.SetNode(i, INF);
int cnt = 0, curEdge = 0;
while (cnt < TotNode - 1)
{
curEdge++;
int k = g.GetMinId(_edges[curEdge].From, _edges[curEdge].To);
if (k == -1)
{
cnt++;
g.Link(_edges[curEdge].To, curEdge + TotNode);
g.Link(curEdge + TotNode, _edges[curEdge].From);
_edges[curEdge].InTree = true;
MaxEdgeP = curEdge;
}
}
Ans = _edges[MaxEdgeP].Weight - _edges[1].Weight;
MinEdgeP = 1;
}
int GetAns()
{
for (int i = 1; i <= TotEdge; i++)
{
if (_edges[i].InTree)
continue;
_edges[i].InTree = true;
if (_edges[i].Weight > _edges[MaxEdgeP].Weight)
MaxEdgeP = i;
int cutEdge = g.GetMinId(_edges[i].From, _edges[i].To);
assert(cutEdge != -1);
g.Cut(_edges[cutEdge - TotNode].To, cutEdge);
g.Cut(cutEdge, _edges[cutEdge - TotNode].From);
_edges[cutEdge - TotNode].InTree = false;
if (MaxEdgeP == cutEdge - TotNode)
while (!_edges[MaxEdgeP].InTree)
MaxEdgeP--;
if (MinEdgeP == cutEdge - TotNode)
while (!_edges[MinEdgeP].InTree)
MinEdgeP++;
Ans = min(Ans, _edges[MaxEdgeP].Weight - _edges[MinEdgeP].Weight);
g.Link(_edges[i].To, i + TotNode);
g.Link(i + TotNode, _edges[i].From);
}
return Ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &TotNode, &TotEdge);
for (int i = 1; i <= TotEdge; i++)
{
scanf("%d%d%d", &_edges[i].From, &_edges[i].To, &_edges[i].Weight);
while (_edges[i].From == _edges[i].To)
{
TotEdge--;
scanf("%d%d%d", &_edges[i].From, &_edges[i].To, &_edges[i].Weight);
}
}
InitBuild();
printf("%d\n", GetAns());
return 0;
}
原文:https://www.cnblogs.com/headboy2002/p/9532335.html