三种数学语言的相互转化

例1：

符号语言：\(\forall x_1\in A\)，\(\exists x_2\in B\)，使得方程\(g(x_2)=f(x_1)\)成立，先转化如下，

符号语言：\(\{y\mid y=f(x)，x\in A\}\subseteq \{y\mid y=g(x)，x\in B\}\)；

自然语言：即函数\(y=f(x)\)的值域是函数\(y=g(x)\)的值域的子集。

例2：

符号语言：$ab=0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(a=0\)或\(b=0\)；

符号语言：$ab\neq 0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(a\neq 0\)且\(b\neq0\)；

符号语言：$ab\ge 0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(\begin{cases}a\ge 0\\b\ge0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\leq 0 \end{cases}\)；

符号语言：$ab\leq 0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(\begin{cases}a\ge 0\\b\leq 0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\ge 0 \end{cases}\)；

符号语言：$a^2+b^2=0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(a=0\)且\(b=0\)； 自然语言：\(a、b\)全为零；

符号语言：$a^2+b^2\neq 0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(a\neq 0\)或\(b\neq 0\)； 自然语言：\(a、b\)不全为零；

例3：

自然语言：若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，$\Leftrightarrow $ 符号语言：方程\(f(x)=-g(x)\)有解；

自然语言：若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，$\Leftrightarrow $ 符号语言：方程\(f(-x)=g(x)\)有解；

自然语言：若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点\((0，0)\)的对称点，$\Leftrightarrow $ 符号语言：方程\(f(x)=-g(-x)\)有解；

例4：

自然语言：关于\(x\)的不等式\(\cfrac{ax-5}{x-a}<0\)的解集是\(M\)，若\(3\in M\)且\(5\notin M\)，求实数\(a\)的范围；$\Leftrightarrow $

符号语言：\(3\in M\)对应于\(\cfrac{3a-5}{3-a}<0\)，

\(5\notin M\)对应与两种情形：不等式分母为零\(5-a=0\)和\(\cfrac{5a-5}{5-a}\ge 0\)，

故需要求解\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{3a-5}{3-a}<0}\\{5-a=0}\end{array}\right.①\)和\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{3a-5}{3-a}<0}\\{\cfrac{5a-5}{5-a}\ge 0}\end{array}\right.②\)

解①得到\(a=5\)，

解②得到\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{5}{3}<a<3}\\{1\leq a<5}\end{array}\right.\)，即\(\cfrac{5}{3}<a<3\)

综上可知实数\(a\)的范围为\(\cfrac{5}{3}<a<3或a=5\)。

例5：题目中出现\(A\subseteq B\)时，常常意味着集合\(A\)有两种情形：\(A=\varnothing\)和\(A\neq \varnothing\)。

\(A\subseteq B\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\cap B=A\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\cup B=B\) \(\Longleftrightarrow\) \(C_UB\subseteq C_UA\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\cap(C_UB)=\varnothing\)

例6：恒成立、能成立类命题

①自然语言：\(A\ge f(x)\)在区间\([a，b]\)上恒成立， $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(A\ge f(x)_{max}\)；

自然语言：\(A\leq f(x)\)在区间\([a，b]\)上恒成立， $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(A\leq f(x)_{min}\)；

②自然语言：\(A\ge f(x)\)在区间\([a，b]\)上能成立， $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(A\ge f(x)_{min}\)；

自然语言：\(A\leq f(x)\)在区间\([a，b]\)上能成立， $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(A\leq f(x)_{max}\)；

③ 符号语言：对\(\forall x_1\in [2，3]\)，\(\exists x_2\in [4，5]\)，满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\)；

$\Leftrightarrow $ 符号语言：\(f(x_1)_{min}\ge g(x_2)_{min}\)；

④

⑤

⑥