首页 > 其他 > 详细

「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的数列 卡特兰数列

时间:2018-05-17 00:40:12      阅读:47      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:alt   class   ++   use   要求   现在   前三   inpu   space   

BZOJ1485[HNOI2009] 有趣的数列

 

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件:

   (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai};

   (2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n

   (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i

   现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 mod P的值。

 

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证,50%的数据满足n≤1000,100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

 

Output

仅含一个整数,表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

 

Sample Input

3 10

 

Sample Output

5

 

对应的5个有趣的数列分别为(1,2,3,4,5,6),(1,2,3,5,4,6),(1,3,2,4,5,6),(1,3,2,5,4,6),(1,4,2,5,3,6)。

 

题解

 技术分享图片技术分享图片

对于 A4 来说 它一定大于前三个

对于 A3 来说 它一定小于后五个

所以可以推断 AI <2*i

可以容易得到一个n^2的dp

f[i][j]表示前i位填到数字j的方案,即第i位用的是j

f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j-1] (j<=2*i-1)

f[i][j]=f[i][j-1] (j>2*i-1)

输出前几项,发现是个卡特兰数列  F(n)=C(2*n,n)/(n+1)

分解质因数求即可

至于为什么是卡特兰数列?其实就是从左往右扫每个数,把放在奇数项看作入栈,偶数看作出栈

 

50 分 dp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,mod;
int f[1005][2005];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    for(int i=0;i<=2*n;i++) f[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=2*n;j++)
            if (j<=2*i-1) f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][j-1])%mod;
            else f[i][j]=f[i][j-1]%mod;
    printf("%d\n",f[n][2*n]);
    return 0;
}

 

 100 分 卡特兰

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e6+5;
ll pri[MAXN],mn[MAXN*2],num[MAXN*2],ans=1;
int n,mod,cnt;
bool use[MAXN*2];
void getpri(){
    for (int i=2;i<=2*n;i++){
        if (!use[i]) pri[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
        for (int j=1;pri[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++){
            use[pri[j]*i]=1,mn[pri[j]*i]=j;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}
void add(int x,int f){
    while (x!=1){
        num[mn[x]]+=f;
        x/=pri[mn[x]];
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    getpri();
    for (int i=2*n;i>n;i--) add(i,1);
    for (int i=1;i<=n;i++) add(i,-1);
    add(n+1,-1);
    for (int i=1;i<=cnt;i++) while (num[i]--) ans=(ans*pri[i])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的数列 卡特兰数列

标签:alt   class   ++   use   要求   现在   前三   inpu   space   

原文:https://www.cnblogs.com/shjrd-dlb/p/9048894.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
0条  
登录后才能评论!
© 2014 bubuko.com 版权所有 鲁ICP备09046678号-4
打开技术之扣,分享程序人生!
             

鲁公网安备 37021202000002号