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状压DP --- [NOI2015]寿司晚宴

时间:2018-04-23 20:47:30      阅读:193      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

[NOI2015]寿司晚宴

题目描述

为了庆祝NOI的成功开幕,主办方为大家准备了一场寿司晚宴。

小G和小W作为参加NOI的选手,也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上,主办方为大家提供了n?1种不同的寿司,编号1,2,3,?,n-1,其中第种寿司的美味度为i+1(即寿司的美味度为从2到n)。

现在小G和小W希望每人选一些寿司种类来品尝,他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当:

小G品尝的寿司种类中存在一种美味度为x的寿司,小W品尝的寿司中存在一种美味度为y的寿司,而x与y不互质。

现在小G和小W希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案(对给定的正整数p取模)。

注意一个人可以不吃任何寿司

 

输入格式:

从文件dinner.in中读入数据。

输入文件的第1行包含2个正整数n,p中间用单个空格隔开,表示共有n种寿司,最终和谐的方案数要对p取模。

 

输出格式:

输出到文件dinner.out中。

输出一行包含1个整数,表示所求的方案模p的结果。

 

数据范围:

\(30pt : 2 <= n <= 30\)

\(50pt : 2 <= n <= 100\)

\(70pt : 2 <= n <= 200\)

\(100pt : 2 <= n <= 500\)

\(p <= 1000000000\)

 

嗯。。。。。。。。。怎么讲呢?虽然自己很快就想出来了,但是感觉自己还是很弱。

周六下午,一看这数据范围,\(O(n^{3})\)的\(DP\)

\(dp(i,j,k)\)表示枚举到第\(i\)个数字,第\(j\)个质数,第\(k\)个。。。。。哪来的三个维???

突然想到大佬提起过状压。

还能压什么?压因子啊。

看了下500以内的素数个数:94个。。。。。。不现实啊

突然想到\(\sqrt{500}=22\)内只有\(2,3,5,7,11,13,17,19\)这\(8\)个质数

\(dp(i,S)\)表示枚举到数字\(i\),因子状态为\(S\)

复杂度\(O(2^8*n)\)。。。。太小了吧。。。。。

不是两个集合吗?加一维:\(dp(i,S1,S2)\)表示枚举到数字\(i\),第一个集合的因子状态\(S1\),第二个\(S2\)

嗯。。。。。。大于\(\sqrt{n}\)的怎么办???

放置了一会去想其他题目,突然懂了大于\(\sqrt{n}\)的因子不会在一个一个数中出现两次,因此可以把每个大因子集合单独拿出来\(DP\)

???做完了???其实思路是差不多完了。

 

进入正题:

对于第一维根本没有必要保持,可以去掉。

设\(sta[i]\)表示\(i\)的因子状压出来的数字。

小因子转移方程:

\(dp(S1|sta[i],S2)=dp(S1|sta[i],S2)+dp(S1,S2)(sta[i]\;and\;S2==0)\)

\(dp(S1,S2|sta[i])=dp(S1,S2|sta[i])+dp(S1,S2)(sta[i]\;and\;S1==0)\)

而对于大因子,我们需要多开一维来记录大因子允许存在于第几个集合中

即\(f(0/1,S1,S2)\)

转移方程:(以下转移条件同上,略去)

\(f(0,S1|sta[i],S2)=f(0,S1|sta[i],S2)+f(0,S1,S2)\)

\(f(1,S1|sta[i],S2)=f(1,S1|sta[i],S2)+f(1,S1,S2)\)

而最后合并的时候,因为两个\(f\)数组中都考虑了大因子不存在的情况,因此要减去一个,减什么?

还有什么没有考虑大因子呢?

自然是\(dp(S1,S2)\)

大因子DP合并到小因子DP转移方程:

\(dp(S1,S2)=f(0,S1,S2)+f(1,S1,S2)-dp(S1,S2)\)

最后答案即为:

\(\sum_{i=0}^{2^{8}-1} \sum_{j=0}^{2^{8}-1} dp(i,j)\)

 

时间复杂度:\(O(n*2^{16})\) 

 

补充:

模的是\(10^{10}\)是\(long\;\;long\)范围的,不能开\(int\)

 

卡常代码,不建议仿生,可以选择参考其他人的

代码在此

 

状压DP --- [NOI2015]寿司晚宴

原文:https://www.cnblogs.com/reverymoon/p/8921611.html

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